Podemos, pois, concluir que:
1? As reduzidas ãe ordem impar são todas maiores que a fracção dada e vão diminuindo successivamente, approximanão-se portanto cada vez mais ãa mesma fracção,
2o. As reduzidas ãe ordem par são todas menores que a fracção ãaãa e vão augmentanão successivamente, approximanão-se cada vez mais ãa mesma fracção.
3? A fracção ãaãa está sempre comprehenãiãa entre duas reduzidas consecutivas, ê menor que a de ordem impar e maior que a ãe orãem par, 144. Antes de terminar o estudo sobre as fracções continuas, convém demonstrar as seguintes propriedades :
1! propriedade
A ãifferença entre duas reãuziãas consecutivas á igual a uma fira* cção que tem para numeraãor ±1, e para ãenominaãor o proãucto ãos denominadores das duas reãuziãas.
Consideremos as tres reduzidas consecutivas
A C E
TT' W' T
Procurando a diíferença entre a reduzida -^-e a reduzida—'
d b
acha-se
_C! A _ BC—AP
~D B ~ BD ^
Pelo resultado vê-se que o denominador BD ê o producto dos denominadores das duas reduzidas. Resta, pois, demonstrar que o numerador é igual a±l.
Pelo que estabelecemos no n. 142, segue-se que
E _ Cp+A
~f— Dp+ir
chamando p o quociente incompleto da ordem a que pertencer a re-
e
duzida —-1?
