Com effeito, o numero D dividindo B, divide BQ ; e dividindo A e BQ, divide R ; dividindo R, divide RQ'; e se divide B e RQ', tem de dividir R'; dividindo R' tem de dividir R'Q", e como divide R, tem de dividir R".
Do exposto se conclue o seguinte
Principio.—Todo divisor de dous numeros divide os restos que resultarem ão processo ão máximo divisor commum applicado a esses dotes numeros.
Sendo o maior divisor commum a dous numeros o ultimo resto, segue-se que
Toão divisor ãe ãous numeros ãiviãe ao máximo divisor commum ã'esses dous numeros.
86. Vejamos agora o processo para achar o máximo divisor commum a mais de dous numeros.
Esse processo basea-se no seguinte lemma : O maior divisor commum a muitos numeros não se altera substituindo ãous ou mais d'entre elles pelo seu maior divisor commum.
Consideremos, em primeiro logar, os tres numeros A, B e C.
Representemos por D o maior divisor commum a A e B, e por D' o maior divisor commum a D e C. Será D' o maior divisor commum aos numeros A, B e C.
Com effeito, D' dividindo D, divide seus múltiplos A e B, e por consequência é divisor commum de A, B e C. É o maior, porque o maior divisor commum de A, B e C divide D, maior divisor commum de A e B (n. 85), e pela mesma razão divide D', maior divisor commum de D e C,e por isso não pôde ser maior que D'.E, pois, D' o maior divisor commum aos numeros A, _t> e C.
Sejam os numeros A, B, C e E.
Representemos por D" o maior divisor commum de D' e E. Será D" o maior divisor commum aos numeros A, B, Ce E.
Com effeito, D" dividindo D', divide seus mnltiplos D e C ; dividindo D, divide seus múltiplos A e B, e por isso é divisor commum aos numeros A, B, C e E. É o maior, porque o maior divisor commum aos numeros A, B, C e E divide D, maior divisor commum de A e B; dividindo D, divide D', maior divisor commum a D e C, e dividindo D' divide D", maior divisor commum de D' e E, e por consequência não
