a P
Advertiremos que os dois limites;--—e — não podem ser
b a
contradictorios. Com effeito, para os dois limites serem contra- dictorios, era necessário que fosse
S a
— <--- , ou b$ < — aa, ou a* + 6B <0,
a b
o que não tem logar; porque, sendo a e 3 uma solução inteira da equação, é a» + 6(3 — c, e por consequência aa + 6(3 positivo.
313. Consideremos agora a equação ax — by = c.
Neste caso as fórmulas geraes, que dão todas as soluções in- teiras, são
x—a + bt, y = $-\rat;
e estas fórmulas mostram que, para x e y serem positivos, é ne- cessário dar a l valores inteiros taes, que tornem
a + bl > 0, (3 + at > 0,
f3
donde t>--—, t>--,
b a
limites no mesmo sentido e ambos inferiores: logo basta apro- veitar o maior; e como todo o numero inteiro superior a esse limite satisfaz, segue-se que a equação admilte uma infinidade de soluções inteiras e positivas.
313. Para reconhecer, pois, se uma equação do primeiro grau a duas incógnitas admitte soluções inteiras e positivas, trans- forma-se a equação de modo que o termo conhecido seja positivo. Feito isto, se os coefficientes das duas incógnitas forem negativos, a equação não admilte soluções positivas; se„ forem positivos, a equação admitte um numero finito de soluções positivas ou mesmo nenhuma; e se tiverem signaes contrários, a equação admitte uma infinidade de soluções positivas.
Depois de termos reconhecido que uma equação admitte solu- i3