Se o numero dos factores for impar, o producto de todos os factores, que precedem o ultimo, é positivo; e por consequência, multiplicando este producto pelo ultimo factor,, virá o producto final negativo.
40. Se dois polynomios e o seu producto estiverem ordenados segundo as potencias decrescentes da mesma letra, o primeiro termo do producto provém sem reducção da multiplicação do primeiro termo do multiplicando pelo primeiro termo do multiplicador.
Com effeito, na multiplicação de dois termos quaesquer, som- mam-se os expoentes da letra principal: logo multiplicando entre si os dois primeiros termos dos factores, isto é, aquelles que con- têm a letra principal com os maiores expoentes, obteremos o termo do producto que contém essa letra com o expoente maior do que todos os outros. Portanto, este termo, não sendo simi- lhante a nenhum dos outros, será irreductivel; e além d'isto será o primeiro termo do producto, porque suppomos este também ordenado segundo as potencias decrescentes da mesma letra.
Do mesmo modo se prova que: o ultimo termo do producto provém sem reducção da multiplicação do ultimo termo do multi- plicando pelo ultimo termo do multiplicador.
Daqui conclue-se que o producto de dois polynomios é neces- sariamente um polynomio. Porque, orctenando os dois polynomios, ha no producto pelo menos dois lermos irreductiveis; e por con- sequência este consta pelo menos de dois termos.
Como exemplo de um producto que se reduz a dois termos, temos o seguinte:
(x8 + axl + a^x + a;f) (x — d) — xl — a4.
41. Para multiplicar muitos polynomios entre si, multiplica-se o primeiro pelo segundo, o resultado ohtido pelo terceiro, e assim por deante.
Appliquemos este processo á formação do producto de m fa- ctores binomios
(a + a)(íc + &)(£c + c)(íc + <í). . .(« + ), que têm o primeiro termo commurn.
