Podemos, pois, concluir que:

1? As reduzidas ãe ordem impar são todas maiores que a fracção dada e vão diminuindo successivamente, approximanão-se portanto cada vez mais ãa mesma fracção,

2o. As reduzidas ãe ordem par são todas menores que a fracção ãaãa e vão augmentanão successivamente, approximanão-se cada vez mais ãa mesma fracção.

3? A fracção ãaãa está sempre comprehenãiãa entre duas reduzidas consecutivas, ê menor que a de ordem impar e maior que a ãe orãem par, 144. Antes de terminar o estudo sobre as fracções continuas, convém demonstrar as seguintes propriedades :

1! propriedade

A ãifferença entre duas reãuziãas consecutivas á igual a uma fira* cção que tem para numeraãor ±1, e para ãenominaãor o proãucto ãos denominadores das duas reãuziãas.

Consideremos as tres reduzidas consecutivas

A C E

TT' W' T

Procurando a diíferença entre a reduzida -^-e a reduzida—'

d b

acha-se

_C! A _ BC—AP

~D B ~ BD ^

Pelo resultado vê-se que o denominador BD ê o producto dos denominadores das duas reduzidas. Resta, pois, demonstrar que o numerador é igual a±l.

Pelo que estabelecemos no n. 142, segue-se que

E _ Cp+A

~f— Dp+ir

chamando p o quociente incompleto da ordem a que pertencer a re-

e

duzida —-1?