Elementos de Arithmetica/Capítulo 2

Elementos de Arithmetica por João José Luiz Vianna
CAPITULO II

Edição de referência: Livraria Francisco Alves, 1914. páginas 49-84.

2ª ordem e assim por diante. Este processo é semelhante ao do problema 1º, pois de facto elle constitue o caso mais geral. As operações devem se effectuar, porém, no systema de base dada, conforme é fácil comprehender.

Para effectuar as divisões applica-se a mesma regra da divisão no systema decimal, convenientemente modificada, como é fácil comprehender pelo desenvolvimento abaixo:

Seja a dividir 2534 por 7

2'	5'	3	4	7
$2\times 6=$	12			0230
	17
	$3\times 6=$	18
		21
		$0\times 6=$	0
			4

CAPITULO II

PROPRIEDADE GERAES DOS NUMEROS

56. Expostos os processos para effectuar as quatro primeiras operações sobre os numeros inteiros, vamos nos occupar do estudo das propriedades geraes d'esses números; e, sendo necessario, não só para esse fim, como tambem para o desenvolvimento das outras partes da arithmetica, o conhecimento das principaes operações algebricas, trataremos antes de tudo de deduzir as regras para cada uma d'essas operações, começando pela exposição dos signaes que a algebra emprega.

Os principaes signaes empregados na algebra são dez:

1º Letras do alphabeto.

2º $+$ que se lê mais.

3º $-$ que se lê menos. 4º $\times$ que se lê multiplicado por.

5º $\div$ que se lê dividido por.

6º ${\sqrt {\ }}$ que se lê raiz de.

7º $=$ que se lê igual a.

8º $>$ que se lê maior que; $<$ menor que.

9º Coefficiente.

10º Expoente.

As letras do alphabeto são empregadas para representar quaesquer numeros.

O signal $+$ indica addição. Escripto entre duas quantidades, exprime que ellas devem ser sommadas.

O signal $-$ indica subtracção. Collocado entre duas quantidades, exprime que uma d'ellas deve ser subtrahida da outra.

O signal $\times$ indica multiplicação. Escripto entre duas quantidades, exprime que uma d'ellas deve ser multiplicada pela outra.

A multiplicação indica-se ainda collocando um ponto entre os factores, ou escrevendo um factor ao pé do outro. Assim, $a\times b,$ $a\cdot b,$ $ab,$ lê-se $a$ multiplicado por $b.$

O signal $\div$ indica divisão. Collocado entre duas quantidades, exprime que uma d'ellas deve ser dividida pela outra.

A divisão indica-se ainda separando o dividendo do divisor por um traço horizontal.

Assim, $a\div b,$ ${\frac {a}{b}},$ lê-se $a$ dividido por $b.$

O signal ${\sqrt {\quad }}$ indica extracção de raiz.

A extracção de raiz é uma operação inversa da elevação a potencia.

Chama-se potencia de um numero um producto de factores iguaes a esse numero.

Assim, a segunda potencia de $a$ é o producto de dous factores iguaes a $a,$ ou $a^{2};$ a terceira potencia de $a$ é o producto de tres factores iguaes a $a,$ ou $a^{3};$ a quarta potencia de $a$ é o producto de quatro factores iguaes a $a,$ ou $a^{4}$ ; etc.

A segunda potencia também se chama quadrado; e a terceira, cubo.

A raiz de um numero é o numero que, multiplicado por si mesmo um certo numero de vezes, produz o numero dado. Assim, a raiz segunda de $a^{2}$ é o numero que, multiplicado por si mesmo, produz $a^{2}$ , isto é, $a$ ; a raiz terceira de $a^{3}$ é o numero que, multiplicado por si mesmo duas vezes, produz $a^{3}$ , isto é, $a$ , etc.

A raiz segunda chama-se também raiz quadrada; e a terceira, raiz cubica.

O gráo da raiz se conhece por um signal que se escreve no radical, e se chama indice; ${\sqrt[{2}]{a}},{\sqrt[{3}]{a}},{\sqrt[{4}]{a}},\ldots ,{\sqrt[{m}]{a}}$ lê-se: raiz quadrada de $a$ , raiz cubica de $a$ , raiz quarta de $a$ ... raiz do gráo $m$ de $a$ .

Para indicar a raiz quadrada, é costume prescindir do indice.

Assim, em logar de ${\sqrt[{2}]{a}}$ , escreve-se ${\sqrt {a}}$ .

O signal $=$ indica igualdade. Escripto entre duas quantidades, exprime que ellas são iguaes.

Exemplo: $a-b=c-d$

A igualdade tem dous membros. O primeiro membro é formado pela expressão que fica á esquerda do signal, e o segundo é formado pela expressão que fica á direita do mesmo signal.

A igualdade não se perturba sommando a ambos os membros ou d'elles subtrahindo uma mesma quantidade; o mesmo acontece, multiplicando ou dividindo ambos os membros por uma mesma quantidade.

O signal $><$ indica desigualdade. Collocado entre duas quantidades exprime que uma d'ellas é maior que a outra. Assim, $a>b,b<a$ . A quantidade maior fica do lado da abertura do signal.

O coefficiente é o multiplicador da quantidade que fica á sua direita. O coefficiente, sendo inteiro indica, numero de parcellas iguaes á quantidade que fica á sua direita.

Exemplo: $6a=a+a+a+a+a+a$

O expoente é um signal que se escreve á direita de uma quantidade e um pouco acima d'ella, e indica o complexo de operações a effectuar sobre essa quantidade. O expoente, sendo inteiro e positivo, indica numero de factores iguaes.

Exemplo: $a^{5}=a\times a\times a\times a\times a$

Estes signaes são empregados como meio de abreviação e generalisação do calculo.

Expressões algebricas

57. Expressão algebrica é a quantidade representada por meio dos signaes da álgebra. $3a,$ $4a^{2}b,$ $3a-2b,$ $4a^{2}-5b+3c,$ são expressões algebricas.

As expressões algebricas são simples ou compostas: simples, quando não têm partes separadas pelos signaes $+$ ou $-;$ compostas, quando as têm; $3a,$ $4a^{3}b,$ são expressões simples; $3a-2b,$ $4a^{2}-5b+3c,$ são expressões compostas.

As expressões simples chamam-se tambem monômios; e as compostas, polynomios.

As partes que nos polynomios estão separadas pelos signaes $+$ ou $-$ chamam-se termos do polynomio.

Ao polynomio de dous termos dá-se o nome de binomio; e ao de tres termos, o de trinomio.

Termos iguaes são os que têm o mesmo coefficiente e as mesmas letras, tendo ellas respectivamente os mesmos expoentes.

Termos semelhantes são os que se compõem das mesmas letras, tendo essas letras respectivamente os mesmos expoentes.

Reducção de termos semelhantes

58. A reducção de termos semelhantes tem por fim diminuir o mais que fôr possivel o numero de termos de um polynomio.

Os termos semelhantes podem ser reduzidos dous a dous: o primeiro com o segundo; o resultado com o terceiro; o segundo resultado com o quarto, e assim por diante até o ultimo; e na reducção d'esses termos deve-se sempre attender aos signaes.

Se os signaes dos dous termos forem iguaes, sommam-se os coefficientes; á direita da somma escrevem-ae as letras com os seus expoentes, e dá-se ao resultado o signal commum.

Exemplos:

$4a^{4}b^{2}+7a^{4}b^{2}=11a^{4}b^{2}$ $-9a^{5}b^{4}-8a^{5}b^{4}=-17a^{5}b^{4}$

Se os termos semelhantes tiverem signaes differentes, subtrahe-se o menor coefficiente do maior; á direita do resto escrevem-se as letras com os seus expoentes, e dá-se ao resultado o signal do maior coefficiente.

Exemplos:

$17a^{8}b^{9}-25a^{8}b^{9}=-8a^{8}b^{9}$ $-38a^{6}b^{7}+43a^{6}b^{7}=5a^{6}b^{7}$

No polynomio $25a^{4}b^{2}-39a^{8}b^{3}+15a^{2}b^{4}-27ab^{5}-19a^{4}b^{2}+12a^{3}b^{3}-8a^{2}b^{4}+13ab^{5}+6a^{4}b^{2}+32a^{3}b^{3}-4a^{2}b^{4}+5ab^{5},$ reduzidos os termos semelhantes, temos o resultado:

$12a^{4}b^{2}+5a^{3}b^{3}+3a^{2}b^{4}-9ab^{5}$

Operações algébricas

59. As principaes operações algebricas são: addição, subtracção, multiplicação e divisão.

Addição

60. Na addição algebrica ha dous casos a considerar:

1º Caso: Addição de monomios.
2º Caso: Addição de polynomios.

1º Caso. — Sendo semelhantes os monomios que se trata de sommar, a questão transforma-se em uma reducção de termos semelhantes.

A somma dos monomios: $12a^{4}b^{2},$ $15a^{4}b^{2}$ e $18a^{4}b^{2}$ é $12a^{4}b^{2}+15a^{4}b^{2}+18a^{4}b^{2}$ ou $45a^{4}b^{2};$ a somma dos monomios: $-4a^{5}b^{4},$ $-17a^{5}b^{4}$ e $-23a^{5}b^{4}$ é $-4a^{5}b^{4}-17a^{5}b^{4}-23a^{5}b^{4}$ ou $-44a^{5}b^{4};$ e finalmente a somma dos monomios: $25a^{7}b^{8},$ $-37a^{7}b^{8}$ e $-13a^{7}b^{8}$ é $25a^{7}b^{8}-37a^{7}b^{8}-13a^{7}b^{8}$ ou $-25a^{7}b^{8}.$

Se os monomios não forem semelhantes, indica-se a operação.

A somma dos monomios: $3a^{5}b^{8},$ $4a^{9}b^{4}$ e $7a^{6}b^{3}$ é $3a^{5}b^{8}+4a^{9}b^{4}+7a^{6}b^{3}$ ; a dos monomios: $4a^{8}b^{4}$ e $-17a^{9}b^{5}$ é $4a^{8}b^{4}+(-17a^{9}b^{5})$ ou $4a^{8}b^{4}-17a^{9}b^{5}.$

2º Caso. — Sejam os polynomios $P$ e $P'.$

O polynomio $P$ póde ser representado por uma expressão da fórma $a-b,$ sendo $a$ a reunião dos termos que têm signal mais; e $b$ a reunião dos termos que têm signal menos. Da mesma fórma o polynomio $P'$ pôde ser representado por $c-d.$ Sommar os dous polynomios $P$ e $P',$ é, pois, sommar as duas expressões $a-b$ e $c-d.$ Sommando $c$ com $a-b,$ o resultado será $a-b+c;$ mas sommando $c$ com $a-b,$ somma-se de mais a quantidade $d.$ Para termos, pois, a somma pedida, é necessario tirar $d$ de $a-b+c,$ e o resultado será $a-b+c-d.$

Pelo que fica exposto, segue-se a Regra para sommar quantidades algebricas. — Escrevem-se as quantidades umas depois das outras, conservando todos os signaes. Reduzem-se os termos semelhantes.

Exemplo: Sommar as expressões: $5a^{4}b-13a^{3}b^{2}+27a^{2}b^{3}-31ab^{4}$ $-18a^{4}b$ $31a^{3}b^{2}-19a^{2}b^{3}+12ab^{4}$ $13a^{4}b$ $2a^{3}b2-5a^{2}b^{3}+3ab^{4}$

A somma é $5a^{4}b-13a^{3}b^{2}+27a^{2}b^{3}-31ab^{4}-18a^{4}b+31a^{3}b^{2}-19a^{2}b^{3}-12ab^{4}+$ $+13a^{4}b+2a^{3}b^{2}-5a^{2}b^{3}+3ab^{4};$ reduzindo os termos semelhantes, acha-se $20a^{3}b^{2}+3a^{2}b^{3}-16ab^{4}$

subtracção

61. Na subtracção algebrica ha dous casos a considerar:

1º Caso: O subtrahendo é um monomio.
2º Caso: O subtrahendo é um polynomio.

1º Caso. — Seja dado o monomio $7a^{4}b^{3}$ para ser subtrahido de $M.$

O resultado devendo ser tal que, sommado com $7a^{4}b^{3},$ dê $M,$ não póde deixar de ser $M-7a^{4}b^{3}.$

Seja dado ainda o monomio $-5a^{7}b^{8}$ para ser subtrahido de $M.$

Como o resultado, sommado com $-5a^{7}b^{8},$ deve dar $M,$ não póde deixar de ser $M+5a^{7}b^{8}.$

2º Caso. — Seja dado o polynomio $P$ para ser subtrahido da quantidade $M.$

Podendo o polynomio $P$ ser representado pela expressão $a-b,$ é claro que subtrahir de $M$ o polynomio $P,$ é o mesmo que subtrahir de $M$ a expressão $a-b.$ Se subtrahirmos a de M, o resultado será M—a; mas subtrahindo de M a quantidade a, subtrahimos de mais a quantidade b, e para que o resultado seja o pedido, é necessário juntar b a M—a, e teremos M—a+b.

Do exposto se conclue a seguinte

Regra para sdbtrahir uma quantidade qualquer de outra.— Escreve-se uma depois da outra, trocando os signaes ão subtra-

r

henão. Beãuzem-se em seguida os termos semelhantes. Exemplo:

Subtrahir do polynomio I8a4b—25a3b2+32a2b3—15ab4,

o polynomio 12a4b—18a3b2—3a2bs—21ab4. O resultado é 18a4b—25asb2+32a2b3—15ab4—12a4b+18a3b» +3a2b3+21ab4 ; e reduzindo os termos semelhantes, acha-se: 6a4b—-7a3b2-f35a2b3+6ab4

multiplicação

62. Na multiplicação algébrica ha tres casos a considerar : Io Caso : Multiplicação de monomio por rrwnomio. 2o Caso : Multiplicação de polynomio por monomio ou ãe monomio por polynomio.

3o Caso : Multiplicação de polynomio por polynomio. Io Caso.— Seja dado o monomio 5a4b3e2d5 para ser multipli cado pelo monomio 7a2b4c3.

Sendo 5a4b3c2d5=õaaaabbbccddddd e 7a2b4c3=7aabbbbccc

teremos

5a4b3c2dBX 7 a2b4c3=5aaaab bb ccddddd X 7 aabbbb ccc= =5X7aaaaaabbbbbbbcccccddddd=35a6b7c5d6

Do resultado se deduz a seguinte

Regra.— Multiplicam-se os coefficientes; escrevem-se no producto as letras communs aos ãous factores dando a cada uma expoente igual â somma dos expoentes ão dous factores, bem como as letras que entrarem em um só factor com os seus respectivos expoentes. 2o Caso.— Represente-se o polynomio por a—b, e o monomio por c. A operação indica-se do seguinte modo :

( a—b) c

Se multiplicarmos a por c, o producto é ac; mas multiplicando a por c, multiplicamos por c uma quantidade augmentada de b, portanto o producto vem augmentado de bc; para termos, pois, o producto pedido devemos tirar bc de ac, e teremos ac—bc, isto é :

( a—b)c=ac—bc

Regra para multiplicar um polynomio por cm monomio e vice-versa.—Multiplica-se cada termo ão polynomio pelo monomio.

Exemplo:

(3a4b—4aEb2+5aBbs) ea^^lSa^4—24a7br'+30a8bK

3o Caso.— Seja o polynomio P para multiplicar pelo polynomio P'.

Podendo os dous polynomios ser representados respectivamente pelas expressões a—b e c—d, a questão fica reduzida a multiplicar a primeira expressão pela segunda.

A multiplicação indica-se do seguinte modo :

(a_b) (c-d)

Se multiplicarmos a—b por c, o producto será ac—bc; mas multiplicando a—b por c, multiplica-se a—b por uma quantidade augmentada de d, e por isso o producto vem augmentado de a—b multiplicado por ã, ou de ad—bd ; para termos o producto pedido, devemos tirar ad—bd de ac—bc, e teremos

(a—b) (c—d)=ac—bc—ad-J-bd

Do resultado se conclue a seguinte

Regra.— Multiplica-se toão o multiplicando pelos diversos termos ão multiplicador, e sommam-se os productos parciaes, reduzindo depois os termos semelhantes.

Ficou ao mesmo tempo demonstrada a seguinte regra dos signaes.

Se dous termos tiverem os mesmos signaes, o producto tem signal mais ; se os termos tiverem signaes differentes, o producto tem signal menos.

Esta regra é applicavel aos dous primeiros casos. Exemplo : (3a4b—4a3b2+5a2b3) (6a5b2—7a4b8-f-8asb4).

3a4b —4a8b2-j-5a2b3 6a5b2—7a4b3-j-8a3b4

18a9b3—24a8b4-f 30a7bB—

—21a8b4-f2Sa7bB—35a6b6+

-}-24a7bB—32a6b6+40a6b7

18a9b8—45a8b4-J-S2a7b5—67aeb6+40a5b7 Observação.—No producto de dous polynomios ha sempre dons termos que não se reduzem, e são o primeiro e o ultimo, se os dous polynomios estiverem ordenados em relação a uma letra, isto é, se os termos dos dous polynomios se acharem dispostos de modo que os expoentes d'essa letra diminuam ou augmentem de termo em termo.

No exemplo considerado, os termos que não se reduzem são 18a9b3 e 40a6b7, pois só nelles a letra a tem os expoentes 9 e 5.

Divisão

63. Na divisão algébrica ha tres casos a considerar : 1? Caso : Divisão ãe um monomio por outro monomio. 2? Caso : Divisão ãe um polynomio por monomio. 3? Caso : Divisão ãe um polynomio por polynomio.

1? Caso. — Seja dado o monomio 72a8b7c6d5 para ser dividido pelo monomio 9a4b2c5

72a8b7c6d5

Indicando a divisão, temos : --

' 9a4b2c5

- „ .. 72a8b7c6d5 >X8..a8.a4^e.bB.c6.cdB , c „ E fácil ver que-„ „ . =---=8a4b5cd6.

9a4b2c5 ^a4]^

Do resultado segue-se a

Regra.—Divide-se o coefficiente ão ãiviãenão pelo coefficiente ão ãivisor, e escr-evem-se as letras communs aos ãous termos, dando a caãa uma delias um expoente igual ao excesso ão expoente ão ãiviãenão sobre o ão ãivisor, e bem assim as letras que entrarem sô no dividendo com os seus respectivos expoentes.

A regra dos signaes é a mesma da multiplicação.

2? Caso.— Seja dado o polynomio 35a7b6—40a8b7+30a9b8 para ser dividido pelo monomio 5a4b8.

O dividendo, sendo o producto do divisor pelo quociente, é o producto de um polynomio por um monomio ; e, como o producto de um polynomio por um monomio se obtém multiplicando cada termo do polynomio pelo monomio, segue-se que os diversos termos do dividendo resultaram da multiplicação do monomio divisor pelos diversos termos do polynomio quociente, termos que se obtêm, dividindo cada termo do dividendo pelo monomio divisor. O resultado será 7a3b3—8a4b4+6a&bB.

Eegra para dividir um polynomio por um monomio.— Divi-ãe-se cada termo do polynomio pelo monomio.

3? Caso.—Dividir 18a9b3—45a8b4-f82a7bB—67a6b6 + 40aBb7 por 3a4b—4a3b2+5a2b8.

Dispondo os termos e procedendo á divisão, temos :

18a9b3—45a8b4+82a7bB—67aBb6-J-40a5b7 18a9b3-(-24asb4—30a7bB

3a4b—4a3b2-f5a2b3

6aõb2—7a4b3+8a3b4

—21a8b4+52a7b6—67a6b6+40aBb7 21a8b4—28a7b5-j-35a6b6_

24a7bB—32aBb«-f40aBb7 —24a7bB+32a6b6—40a5b7

0

Demonstração.— O dividendo, sendo o producto do polynomio divisor pelo quociente, tem pelo menos dous termos que não se reduziram, e esses dous termos são 18a9b3 e 40aBb7. O termo 18a9b3 resultou da multiplicação do termo 3a4b do divisor pelo termo correspondente do quociente, e se dividirmos esse termo do dividendo pelo do divisor, acharemos o primeiro termo do quociente 6aBb2. Multiplicando esse termo do quociente pelo divisor e subtrahindo o producto do dividendo, depois de reduzidos os termos semelhantes, acharemos o primeiro resto —21a8b4-f52a7b6—67a6b6+40aBb7.

Sendo o dividendo a somma reduzida dos productos parciaes que resultam da multiplicação do divisor pelos diversos termos do quociente, subtrahindo do dividendo o primeiro d'esses productos parciaes, o resto é a somma reduzida dos Outros, ou é o producto do divisor pelo quociente, prescindindo do primeiro termo, e deve portanto ter pelo menos dous termos que não se reduziram com nenhum dos outros. Esses termos são — 21a8b4 e 40aBb7. O termo — 21a8b4 resultou da multiplicação do termo 3a4b do divisor pelo termo correspondente do quociente; dividindo pois — 21a8b4 por 3a4b, acharemos o segundo termo do quociente — 7a4b3, que multiplicado pelo divisor e esse producto subtraindo do primeiro resto, depois de reduzidos os termos semelhantes, dará para resultado o segundo resto 24a7bB—32a6b6+40aBb7.

Considerando o segundo resto do mesmo modo que o primeiro, acharemos o terceiro termo do quociente.

Do exposto se deduz a

Regra.— Orãenam-se o ãiviãenão e o ãivisor em relação a uma letra qualquer. Diviãe-se o primeiro termo ão ãiviãenão pelo primeiro termo ão ãivisor; multiplica-se o quociente pelo ãivisor; subtrahe-se o proãucto ão ãiviãenão e reãuzem-se os termos semelhantes.

Diviãe-se o primeiro termo ão resto pelo primeiro ão ãivisor ; multiplica-se o quociente pelo ãivisor; subtrahe-se o proãucto ão primeiro resto, e reãuzem-se os termos semelhantes. Assim se continua sempre até terminar a ãivisão

64. A ãivisibiliãade ãos números tem por fim estabelecer princípios por meio ãos quaes poãemos conhecer os ãivisores ãe um numero, assim como também achar o resto ãa ãivisão ãe um numero inteiro por outro, sem effectuar essa ãivisão.

Antes de demonstrar os princípios d'esta parte da Arithmetica, convém que sejam conhecidas as seguintes definições.

Numero primo ê o numero somente ãivisivel por si e péla uniãaãe. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc.

Numero múltiplo ê o numero que tem um ou mais ãivisores ãiffe-rentes ãe si e ãa uniãaãe. Exemplos : 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, etc.

Números primos entre si são ãous ou mais números que sómente têm por ãivisor commum a uniãaãe.

Exemplos : 5, 7 e 13 •, 11, 15 e 18 ; 8, 9 e 15.

Os princípios de divisibilidade dos números são :

65. Io Principio.— Um numero ãiviãinão as parcellas ãe uma somma, ãiviãe também a somma.

Seja S=A-)-B+C e D o numero que divide as parcellas A,

DIVISIBILIDADE DOS NÚMEROS

B e C Se D divide A, B e C, os quocientes das divisões de A, B e C, por D são numeros inteiros, que podemos representar por q, q' e q", e então

A B , c „

--=q ——=q' -r=q '

D 4 D H D

Por ser o dividendo igual ao producto do divisor pelo quociente,

A=Dq, B=Dq' C=:Dq";

sommando as tres igualdades ordenadamente, resulta

A+B+C=:Dq+Dq'+Dq";

substituindo no primeiro membro A+B-J-C pelo seu valor S, e pondo em evidencia o factor commum D, no segundo membro, a ultima igualdade transforma-se em

S=D (q+q'+q") dividindo ambos os membros da ultima igualdade por D, temos

-|-=<i+q'+<r

Ora q, q' e q" sendo números inteiros, como quocientes das divisões exactas dos numeros A, B e C pelo numero D, fica o segundo membro sendo numero inteiro, e, por consequência, D.

66. 2o Principio.— Senão uma somma composta ãe duas parcellas, se um numero dividir a somma e a uma das parcellas, dividirá também a outra parcella.

Seja S=A+B, e D o numero que divide S e A.

Se D divide S e A, os quocientes das duas divisões são numeros inteiros, que podemos representar por q e q\ e então

S A ,

lõ=q

Sendo o dividendo igual ao producto do divisor pelo quociente

temos:

S—Dq A=Dq'

Subtrahindo a ultima igualdade da penúltima ordenadamente, acha-se

S—A=Dq—Dq' substituindo, no primeiro membro, S—A pelo seu valor B, e pondo no segundo membro o factor commum D em evidencia, vem

B=D (q-q')

dividindo ambos os membros da ultima igualdade por D, resulta

B

Sendo q e números inteiros, como quocientes das divisões exactas dos números S e A pelo numero D, fica o segundo membro sendo numero inteiro; por consequência D divide B.

Se a somma fôr composta de mais de duas parcellas : Se um numero dividir a somma e a uma das parcellas, dividirá a somma das outras parcellas.

67. 3? Principio.—Sendo uma somma composta ãe duas parcellas : se um numero dividir uma das duas parcellas e não ãiviãir a outra, não ãiviãirá também a somma. Os restos das divisões ãa somma e ãa parcella não ãivisivel por esse mesmo numero são iguaes.

Seja S=A+B ; D o numero que divide A e não divide B ; q a parte inteira do quociente da divisão de B por D, e E o resto d'essa divisão.

Se D divide A, o quociente da divisão de A por D é um numero inteiro, que representaremos por Q, e teremos

Se D não divide R, o quociente da divisão de B por D consta de duas partes; uma é um numero inteiro,que representamos por q, e a outra uma fracção própria que tem para denominador o divisor e para numerador o resto da divisão, que por hypothese é R, e resulta

B , R D"

Por ser o dividendo igual ao producto do divisor pelo quociente

A=DQ B=Dq-f-R

Sommando as duas igualdades ordenadamente, temos A+B=DQ+Dq+R substituindo, no primeiro membro, A-J-B pelo seu valor S, e pondo no segundo membro o factor commum D em evidencia, a ultima igualdade transforma-se em S=D(Q+q)+R; dividindo ambos os membros da igualdade por D, resulta

S „ . . R

=Q+q

D D

Ora, Q é um numero inteiro, por ser o quociente da divisão exacta de A por D ; q é um numero inteiro por ser a parte inteira do quociente

R

da divisão de B por D, e— é uma fracção própria por ser a fracção que

completa o quociente da divisão de B por D ; a somma de dous numeros inteiros é um numero inteiro, fica, pois, o segundo membro sendo um numero fraccionario, e por consequência D não divide S.

Se o quociente da divisão de S por D consta de duas partes: se uma d'ellas é um numero inteiro Q-{-q, e se aoutra é uma fracção própria que tem para denominador o divisor, o numerador R é o resto da divisão, e portanto o resto da divisão de S por D é igual ao resto da divisão de B por D.

68. 4? Principio.—Se um numero dividir a um dos factores de um producto, divide também o producto.

Este principio pôde ainda ser enunciado do seguinte modo : Um numero dividindo a um outro, divide também a qualquer múltiplo d'esse outro.

Seja AB o producto e D o numero que divide A. Se D divide A, o quociente da divisão de A por D é um numero inteiro, que representaremos por Q, e teremos

A ^

Por ser o dividendo igual ao producto do divisor pelo quociente

A=Í)Q

multiplicando ambos os membros da igualdade pelo numero inteiro B, vem

AB=BDQ

dividindo ambos os membros da igualdade por D, resulta

D ^

B é um numero inteiro por bypothese, Q também é um numero inteiro, por ser o quociente da divisão exacta de A por D, e sendo o produeto de dous números inteiros um numero inteiro, fica o segundo membro da igualdade sendo numero inteiro, e por consequência D divide o producto AB.

69. 5? Principio.—Se um numera fôr divisível por outro, è também divisível pelos factores doesse outro.

Seja N o numero divisível pelo numero D, e supponhamos D=abc.

Se N é divisível por D, o quociente da divisão de N por D é um numero inteiro ; representando esse numero inteiro por q, teremos

N

Por ser o dividendo igual ao producto do divisor pelo quociente,

N=Dq

substituindo D pelo seu valor abe vem

N=abcq

dividindo ambos os membros da igualdade successivamente por a, b, c,

resulta

N , N N

—=bcq,^j— =acq,—— =abq

Sendo a, b e c números inteiros, como factores do numero inteiro D, e q também numero inteiro por ser o quociente da divisão exacta de N por D, ficam os segundos membros das tres igualdades sendo números , inteiros, e por consequência N é divisível por «, por b e por c.

Theoria dos restos

CARACTERES DE DIVISIBILIDADE

70. Antes de tratar da theoria dos restos e dos caracteres de divisibilidade, convém demonstrar o seguinte

Principio.—Toda a potencia de 10 ê um proãucto dos factores pi-imos 2 e 5 elevados á mesma potencia.

Trata-se, pois, de demonstrar que 10m=2mX5m. Com effeito :

io»=ioxioxiox.... Xio=2X5X2Xf>X2X5X.... ____X2X5=2mX5m. Os princípios mais importantes da theoria dos restos são :

71. 1? Principio.—O resto ãa divisão de um numero inteiro qualquer por 10m, ê o numero formado pelos m últimos algarismos ão numero ãaão.

Demonstração.—0 numero dado pôde sempre ser decomposto em duas partes, uma terminada por m zeros, e a outra formada pelos m últimos algarismos. A primeira parte é divisível por 10m, e a segunda, sendo menor que essa potencia de 10, é necessariamente o resto da divisão.

D'este principio deduz-se a seguinte:

Consequência.—Se o ultimo algarismo de um numero for zero, será esse numero divisível por 10, e portanto também por 2 e 5, que são iactores de 10.

Se os dous últimos algarismos de um numero forem zeros, esse numero é divisível por IO2 e por consequência pelos factores d'esse numero 2a e 5a.

Se os tres últimos algarismos de um numero forem zeros, esse numero é divisível por IO3, e portanto pelos seus factores 2® e 53.

Se, finalmente, o numero terminar por m zeros, é divisível por 2m e 5m.

72. 2? Principio.—O resto ãa divisão ãe um numero inteiro qualquer por 2 ou por 5, é igual ao resto ãa ãivisão ão numero formado pelo ultimo algarismo ão numero ãaão pelos mesmos numeros 2 e 5.

Demonstração.— Um numero inteiro qualquer pôde sempre ser decomposto em duas partes, uma d'ellas terminada por um zero e a outra formada pelo ultimo algarismo. Sendo a primeira parte divisível por 2 ou 5, segue-se que o resto da divisão do numero dado por um d'esses numeros é igual ao resto da divisão da segunda- parte por esses mesmos numeros.

Consequencia.— Para que um numero seja divisível por 2 ou

por 5, ê necessário e sufficiente que o ultimo algarismo represente um numero divisível por 2 ou por 5.

Os numeros divisíveis por 2 chamam-se^arcs,- e os não divisíveis,

impares.

A formula geral dos numeros pares é 2n; e a dos numeros impares, 2n-\-l ou 2n—1, sendo n um inteiro qualquer. 73. 3? Princípio.— O resto ãa divisão âe um numero inteiro qualquer por 22 ou 52 é igual ao resto ãa ãivisão ão numero formado pelos ãous últimos algarismos ão numero dado por esses mesmos números.

Demonstração.— Podemos sempre decompor um numero inteiro qualquer em duas partes, uma d'ellas terminada por dous zeros, e a outra formada pelos dous últimos algarismos.

Sendo a primeira parte divisivel por 22 ou 52, segue-se que o resto da divisão do numero dado por um d'esses números é igual ao resto da divisão da segunda parte por esses mesmos números.

Consequência.— Um numero é divisivel por 22 ou 52, se os ãous últimos algarismos formarem um numero divisivel por 22 ou 52. Esta condição é necessaria e sufficiente.

74. 4° Principio.— O resto ãa ãivisão ãe um numero inteiro qualquer por 23 ou 53 ê igual ao resto ãa ãivisão ão numero formaão peloi tres últimos algarismos ão numero ãaão por esses mesmos números.

Demonstração.— Um numero inteiro qualquer pôde sempre ser decomposto em duas partes, uma terminada por tres zeros, e a outra formada pelos tres últimos algarismos. Sendo a primeira parte divisivel por 23 ou 53, resulta que o resto da divisão do numero dado por um d'esses números é igual ao resto da divisão da segunda parte por esses mesmos números.

Consequência.—Para que um numero seja divisivel por 23 ou 53, é necessário e sufficiente que os tres últimos algarismos ã'esse numero formem um numero divisivel por 2a ou ff3.

75. 5? Principio.—O resto ãa ãivisão ãe um numero inteiro qualquer por 2m ou 5m è igual ao resto ãa ãivisão ão numero formado pelos m últimos algarismos ã^esse numero pelos mesmos números 2m ou 5m.

Demonstração . —Seja qual fôr o numero que se considere, elle pôde ser decomposto em duas partes, umad'ellas terminada por m zeros e a outra formada pelos m últimos algarismos. Sendo a primeira parte divisivel por 2™ ou 5m, o resto da divisão do numero considerado por esses números é igual ao resto da divisão da segunda parte por esses mesmos números.

Consequência.— Um numero è divisivel por 2m ou por 5m, se os m últimos algarismos ã'esse numero formarem um numero divisivel por 2m ou 5m. Esta condição é necessaria e sufficiente.

Vianna — Arithmetica 5 76. 6^o Principio.— O resto da divisão de um numero inteiro qualquer por 9 é igual ao resto da divisão do numero formado pela somma dos valores absolutos dos algarismos do numero dado, pelo mesmo numero 9.

A demonstração d'este principio depende das seguintes proposições:

Primeira.— Uma potencia qualquer de 10 é um múltiplo de 9 mais um.

Porque, seja qual fôr o numero que se considere composto sómente de noves, elle é evidentemente divisível por 9, e juntando a esse numero uma unidade o resultado será uma potencia de 10.

Segunda.— Um numero sendo formado de algarismo significativo seguido de um numero qualquer de zeros, é igual a um múltiplo de 9 mais o numero representado por esse algarismo.

Com effeito, o numero dado, seja qual fôr, póde ser decomposto em tantas parcellas, potencias de 10, quantas forem as unidades do numero representado pelo algarismo significativo; e como cada uma das parcellas é um múltiplo de 9 mais 1, segue-se que o numero dado é igual a um múltiplo de 9 mais um numero composto de tantas unidades quantas forem as parcellas ou quantas forem as unidades do numero representado pelo algarismo significativo.

Terceira.— Um numero inteiro qualquer é igual a um múltiplo de 9 mais a somma dos valores absolutos de seus algarismos

Com effeito, 78654=70000+8000+600+50+4

Mas

70000 = m . 9 + 7
 8000 = m . 9 + 8
  600 = m . 9 + 6
   50 = m . 9 + 5
    4 =         4

Sommando as igualdades ordenadamente, temos 78654 = m . 9 + (7+8+6+5+4),

ou ainda

78654 = m . 9 + 30

sendo 30 a somma dos valores absolutos dos algarismos do numero 78654.

Se um numero inteiro qualquer póde sempre ser decomposto em duas partes, uma d'ellas sendo um múltiplo de 9 e a outra a somma dos valores absolutos de seus algarismos, e se a primeira parte é divisível por 9, é claro que o resto da divisão do numero dado por 9 é igual ao resto da divisão da segunda parte por esse mesmo numero. Consequência.— Para que um numero seja divisivel por 9, ê necessário e sufficiente que a somma ãos vedores absolutos ãos algarismos d'esse numero seja um. numero divisivel por 9.

77. 7o Principio.— O resto ãa ãivisão ãe um numero inteiro qualquer por 3 ê igual ao resto ãa ãivisão ão numero formado pela somma ãos valores absolutos ãos algarismos ão numero dado, por esse mesmo numero 3.

Demonstração.— Sendo 9 múltiplo de 3, podemos dizer que um numero inteiro pôde sempre ser decomposto em duas partes, sendo uma d'ellas um múltiplo de 3, e a outra a somma dos valores absolutos dos algarismos. A primeira parte sendo divisivel por 3, o resto da divisão do numero dado por 3 é igual ao resto da divisão da segunda parte por esse mesmo numero.

Consequência.— Um numero ê divisível por 3, se a somma ãos valores absolutos ãos algarismos d'esse numero fôr um numero divisivel por 3. Esta condição é necessaria e sufficiente.

78. 8o Principio.— O resto ãa ãivisão ãe um numero por 11 ê igual ao resto ãa ãivisão ão excesso ãa somma ãos valores absolutos ãos algarismos ãe ordem impar, a partir ãa ãireita, sobre a somma ãos valores absolutos ãos algarismos ãe orãem par, por esse mesmo numero 11.

Esta proposição é dependente das seguintes:

Uma potencia qualquer ãe 10 é igual a um múltiplo ãe 11 mais ou menos 1: mais, sé a potencia fôr par; e menos, se fôr impar.

10=11—1

100=99+1=90+9+1=9 (11—1) +9+1= =9X11—9+9+l=m. 11+1 1000=999+1=900+90+9+1=9 (m ll+l)+

+9 (11—l).+a^l=9*m. 11+9+9X11— —g+9+l=9Xm. 11+9.^11+ , +10—m. 11—1 10000=9999+1=9000+900+90+9+1= =9 (m. 11—1) +9 (m. 11+1) +9 (11—1) +9+ +l=9Xm. 11—9+9Xm- H+9+ +9X11—9+9+l=m. 11+1 e assim successivamente.

Do principio demonstrado, deduz-se que : Um numero inteiro formado por um algarismo significativo, seguido ãe um numero qualquer ãe zeros, ê igual a um múltiplo ãe 11 mais ou menos o numero formado por esse algarismo significativo» mais, se o-numero ãe zeros fôr par; e menos, se fôr impar.

Assim

20=m. 11—2 300=m. 11+3 4000=m. 11—4 5000Q=m. 11+5

Sabendo-se que

72856=70000+2000+800+50+6

e sendo

70000=m. 11+7 2000=311. 11—2 800=m. 11+8 50=m. 11—5 6= 6

resulta, sommando as igualdades ordenadamente,

72856=M. 11+ (7+8+6) — (2+5)

Fica, pois, o numero 72856 decomposto em duas partes, a primeira é divisível por 11, por ser múltiplo d'esse numero ; se a segunda-parte não fôr divisível por 11, a somma não será também divisível por esse numero, e os restos das divisões da somma e da parte não divisível por esse mesmo numero são iguaes ; o que demonstra a proposição primitiva.

Consequência.—Para que um numero seja divisível por 11, ê necessário que seja divisível por esse numero o excesso ãa somma ãos valores absolutos ãos algarismos ãe ordem impar, a contar ãa ãireita, sobre a somma ãos valores absolutos ãos algarismos ãe orãem par.

Se a somma dos valores absolutos dos algarismos de ordem impar fôr menor que a somma dos valores absolutos dos algarismos de ordem par, junta-se á primeira somma o numero 11 ou um múltiplo d'esse numero.

Provas dos noves das qnatro operações

Pelo principio estabelecido no o. 76, podemos sempre achar o resto da divisão de um numero inteiro qualquer por 9, sommando os valores absolutos dos algarismos d'esse numero e dividindo essa somma por 9.

Em logar de proceder pelo modo indicado, podemos dividir por 9 ou desprezar successivamente 9, à medida que se fôr sommando os valores absolutos dos algarismos. Assim, para achar o resto da divisão do numero 472856 por 9, ou para tirar os 9 d'esse numero, diremos: quatro mais sete são onze, tirando nove ficam dous; dous mais dous são quatro, quatro mais oito são doze, tirando nove, ficam tres ; tres mais cinco são oito, oito mais seis são quatorze, tirando nove, ficam cinco. O resto 5 é o que acharíamos se sommassemos os valores absolutos de todos os algarismos e dividíssemos essa somma por 9, como é fácil verificar.

Prova da addição

79. Tiram-se os noves às parcellas e separadamente à somma. Os restos devem ser iguaes.

Demonstração. — Seja S = A + B + C.

Os números A, B e C podendo ser decompostos em duas partes, sendo uma d'ellas um múltiplo de 9, e a outra a somma dos valores absolutos dos algarismos de cada um d'elles ; se chamarmos 9a, 9b e 9c esses múltiplos de 9, e s, s', s" as sommas dos valores absolutos dos algarismos nas tres parcellas, teremos

S=9a+s+9b+s'+9c+s";

pondo em evidencia os múltiplos de 9, resulta

S=9(a+b+c)+s+s'+s"

Se a somma S fica decomposta em duas partes, a primeira sendo divisivel por 9, por ser múltiplo d'esse numero, e a segunda sendo a somma dos valores absolutos de todos os algarismos das parcellas, segue-se que o resto da divisão da somma por 9 é igual ao resto da divisão da segunda parte por esse mesmo numero.

Prova da subtracção

80. Seja M o minuendo, S o subtrahendo e R o resto.

A subtracção tendo por fim, dada a somma de dous números e um d'elles, achar o outro, segue-se que o minuendo é a somma do sub

trahendo com o resto. Para tirar, pois, a prova da subtracção, tiram-se os noves ao subtrahendo e ao resto, e em separado ao minuendo. Os dous restos devem ser iguaes.

Prova da multiplicação

81. Tiram-se os noves ao multiplicando e ao multiplicador ; multiplicam-se os dous restos, e tiram-se os noves ao resultado ; tirando depois os noves do producto, os restos devem ser iguaes.

Demonstração.—Seja A o multiplicando e B o multiplicador, AB será o producto.

O multiplicando podendo ser decomposto em duas partes, uma d'ellas um múltiplo de 9, e a outra o resto da divisão do multiplicando por 9, teremos

A=9Q+R;

raciocinando do mesmo modo em relação ao multiplicador, resulta

B=9Q'+R'

Multiplicando as duas igualdades ordenadamente, temos

AB=9²QQ'+9Q'R+9QR'+RR'

ou ainda

AB=9(9QQ'+Q'R+QR')+RR'

Logo o resto da divisão do producto AB por 9 é igual ao resto da divisão por 9 do producto RR' dos restos que se obtêm tirando os 9 do multiplicando e multiplicador.

Prova da divisão

82. Se a divisão fôr exacta, tiram-se os noves ao divisor e ao quociente ; multiplicam-se os dous restos e tiram-se os noves do resultado, e o resto deve ser igual ao resto que se obtém tirando os noves do dividendo, porque o dividendo é igual ao divisor multiplicado pelo quociente.

Se a divisão não fôr exacta, o dividendo é igual ao divisor multiplicado pela parte inteira do quociente, mais o resto da divisão. Chamando, pois, $D$ o dividendo, $d$ o divisor, $Q$ a parte inteira do quociente, e $R$ o resto da divisão, temos

D=dQ+R

Se $r$ e $r'$ forem os restos das divisões de $dQ$ e $R$ por 9, resulta

dQ=m.9+r

R=m'.9+r'

Sommando as duas igualdades ordenadamente, vem

dQ+R=m.9+m'.9+r+r'

ou

D=M9+(r+r')

O resto da divisão de $D$ por 9 é igual ao resto da divisão de $r+r'$ pelo mesmo numero 9.

Para tirar, portanto, a prova da divisão na hypothese de não ser ella exacta: tiram-se os noves ao divisor e ao quociente; multiplicam-se os dous restos; somma-se o producto com o resto da divisão; tiram-se os noves ao resultado, e o resto deve ser igual ao resto que se obtém tirando os noves do dividendo.

THEORIA DO MAXIMO DIVISOR COMMUM

83. Maximo divisor commum a dous ou mais números é o maior numero que divide exactamente a esses dous ou mais números.

A demonstração do processo para achar o maximo divisor commum a dous numeros depende dos tres principios seguintes, já demonstrados.

Um numero dividindo um outro, divide também a qualquer múltiplo d'esse outro.
Um numero dividindo as parcellas de uma somma, divide também a somma.
Um numero dividindo a somma de duas parcellas e a uma d'ellas, divide também a outra parcella.

Considerando que o dividendo é uma somma de duas parcellas, a saber, o producto do quociente pelo divisor e o resto, costuma-se enunciar o 2º e o 3º principios da seguinte fórma: 2? Toão numero que divide o menor ãe ãous numeros ãaãos e o resto ãa ãivisão ão maior pelo menor, divide também o maior.

3? Toão numero que ãiviãe ãous numeros dados, também divide o resto ãa divisão ão maior ã' elles pelo menor.

i

84. Tratemos, pois, de estabelecer a regra para achar o máximo divisor commum a doas numeros.

Sejam A e B esses dous numeros e supponhamos A>B.

Se B dividir A, será B o maior divisor commum dos dous números dados.

Com effeito, B dividindo A e a si mesmo, fica dividindo aos dous numeros dados e portanto sendo divisor commum. Ê o maior, porque um numero maior que B poderá quando muito dividir A, mas não B, por não poder ser o dividendo menor que o divisor, na hypothese de ser a divisão exacta. Vejamos, pois, se B divide A.

Supponhamos que a divisão não seja exacta, e represente-se por Q a parte inteira do quociente e por R o resto da divisão. D'essa hypothese resulta a igualdade.

(1) A=BQ-fR

Se R dividir B, será R o maior divisor commum aos dous números dados.

Com effeito, R dividindo B. divide BQ, por ser um múltiplo de B, e dividindo a si mesmo, fica dividindo as parcellas de uma somma e portanto divide a somma A ; dividindo A e B, é divisor commum aos dous numeros dados. Ê o maior ; porque se um numero maior que R dividisse A e B, esse numero tinha de dividir BQ, e dividindo uma somma composta de duas parcellas e uma d'ellas, tinha de dividir a outra R ; mas um numero maior que R não podendo dividir R exactamente, o maior divisor commum a A e B não pôde exceder de R. Será R, se R dividir B.

Supponhamos que a divisão não seja exacta, e representemos

por Q' a parte inteira do quociente e por R' o resto da divisão. D'essa hypothese resulta a igualdade

(2) B=RQ'+R'

Se R' dividir R, será R' o maior divisor commum aos dous numeros dados. Com effeito, R' dividindo R, dividirá RQ', e como R' divide a si mesmo, fica dividindo as parcellas de uma somma, e portanto divide a somma B; dividindo B, divide BQ, e como por hypothese divide R, torna a dividir as parcellas de uma somma (igualdade n. 1) e portanto divide a somma A; mas dividindo A e B é divisor commum aos dous números dados. É o maior, porque se um numero maior que R' dividisse A e B, dividindo, B tinlia de dividir BQ, e por dividir A e BQ ficava dividindo uma àomma composta de duas parcellas e uma d'ellas, portanto tinha de dividir a outra parcella R; dividindo R, tinha de dividir RQ', « como por hypothese divide B, torna de novo a dividir a uma somma composta de duas parcellas e a uma d'ellas, portanto tem de dividir a outra parcella R' ; mas um numero maior que R' não pôde dividir exactamente R' ; por consequência o maior divisor commum procurado não pôde exceder de R'. Será R', se R' dividir a R.

Suppondo queda divisão de R por R', a parte inteira do quociente seja Q" e o resto da divisão R", resultará a igualdade (3) R=R'Q"+R"

Raciocinando do mesmo modo se concluirá a seguinte

Regra.—Diviãe-se o maior numero pelo menor. Se a ãivisão fôr exacta, o menor numero será o maior ãivisor commum. Se houver resto, ãiviãe-se o menor numero pelo resto; se houver um segunão resto, ãiviãe-se o primeiro resto pelo segunão, e assim por ãiante até não haver mais resto. O ultimo ãivisor ou o ultimo resto ê o maior ãivisor commum.

Exemplo:

Achar o divisor commum aos números 4896 e 872.

5 1 1 1 1 2 8

4896 872 536 336 200 136 ~64 ~8 536 336 200|136 64[ 8 0

G numero 8 é o maior divisor commum aos dous números.

85. Considerando as igualdades achadas no numero precedente

A=BQ +R B=RQ' +R' R=R'Q"+R"

e suppondo que um numero D divide A e B, esse numero dividirá R, R' eR". Com effeito, o numero D dividindo B, divide BQ ; e dividindo A e BQ, divide R ; dividindo R, divide RQ'; e se divide B e RQ', tem de dividir R'; dividindo R' tem de dividir R'Q", e como divide R, tem de dividir R".

Do exposto se conclue o seguinte

Principio.—Todo divisor de dous numeros divide os restos que resultarem ão processo ão máximo divisor commum applicado a esses dotes numeros.

Sendo o maior divisor commum a dous numeros o ultimo resto, segue-se que

Toão divisor ãe ãous numeros ãiviãe ao máximo divisor commum ã'esses dous numeros.

86. Vejamos agora o processo para achar o máximo divisor commum a mais de dous numeros.

Esse processo basea-se no seguinte lemma : O maior divisor commum a muitos numeros não se altera substituindo ãous ou mais d'entre elles pelo seu maior divisor commum.

Consideremos, em primeiro logar, os tres numeros A, B e C.

Representemos por D o maior divisor commum a A e B, e por D' o maior divisor commum a D e C. Será D' o maior divisor commum aos numeros A, B e C.

Com effeito, D' dividindo D, divide seus múltiplos A e B, e por consequência é divisor commum de A, B e C. É o maior, porque o maior divisor commum de A, B e C divide D, maior divisor commum de A e B (n. 85), e pela mesma razão divide D', maior divisor commum de D e C,e por isso não pôde ser maior que D'.E, pois, D' o maior divisor commum aos numeros A, _t> e C.

Sejam os numeros A, B, C e E.

Representemos por D" o maior divisor commum de D' e E. Será D" o maior divisor commum aos numeros A, B, Ce E.

Com effeito, D" dividindo D', divide seus mnltiplos D e C ; dividindo D, divide seus múltiplos A e B, e por isso é divisor commum aos numeros A, B, C e E. É o maior, porque o maior divisor commum aos numeros A, B, C e E divide D, maior divisor commum de A e B; dividindo D, divide D', maior divisor commum a D e C, e dividindo D' divide D", maior divisor commum de D' e E, e por consequência não pôde ser maior que D". Será, pois, D" o maior divisor commum aos números A, B, C e E.

Do exposto segue-se que para achar o máximo divisor commum a mais de dous números, deve-se empregar a seguinte

Regra.—Procura-se o maior ãivisor commum aos ãous primeiros números ; depois o maior ãivisor commum ao maior ãivisor commum ãos ãous primeiros números e do terceiro; e depois o maior ãivisor commum ã'esse ultimo maior ãivisor commum e ão quarto numero ; e assim por ãiante até o ultimo.

Exemplo:

Achar o maior divisor commum aos números 720, 420 e 138.

Procurando o maior divisor commum aos números 720 e 420.

1 1 2 2 720 420 300 120 60 300 120 60 0

Procurando o maior divisor commum aos números 138 e 60, maior divisor commum de 720 e 420

2 3 3 138 60 18 6 18 6 0

O numero 6, maior divisor commum de 138 e 60, é o maior divisor commum aos tres números dados.

Do exposto se conclue o seguinte

Principio.—O numero que divide outros divide também o maioi-ãivisor commum a esses números.

Com effeito, para achar o maior divisor commum aos números A, B, C e E, procura-se:

o m. d. c. a A e B, seja D ;

o m. d. c. a D e C, seja D';

o m. d. c. a D' e E, seja D".

Ora, todo numero que dividir os números propostos A, B, C e E, dividirá D (principio do n. 85). Dividindo C, por hypothese, dividirá também D' (mesmo principio). Dividindo, por hypothese, E, dividirá também D", que é o maior divisor commum aos números dados.

87. Se, procurando o maior divisor commum de dous ou mais numeros, acharmos a unidade, esses dous ou mais numeros são primos entre si.

Exemplo :

Achar o maior divisor commum aos numeros 873 e 317.

2 1 3 15 1 1 2 873 317 239 78 5 3 2 1 239 78 5 28 2 1 0

3

O maior divisor commum aos dous numeros dados é a unidade e os dous numeros são primos entre si.

No exemplo precedente, tendo-se achado para resto o numero primo 5, que não divide o resto antecedente 78, era inútil continuar o processo, pois devíamos logo por essa circumstancia considerar os numeros dados primos entre si.

Com effeito, o maior divisor commum aos dous numeros, tendo de dividir os restos que resultam do processo empregado, deve dividir a 239, 78 e 5, e não pôde deixar de ser 5 ou 1; e como 5 não divide o resto 78, é elle necessariamente 1, e os dous numeros são primos entre si.

Propriedades do maior divisor commum

1? Quando se multiplicam ou dividem ãous ou mais numeros por um mesmo factor, o maior ãivisor commum fica multiplicado ou ãiviãião por esse mesmo factor.

Com effeito, o maior divisor commum não é mais do que o ultimo resto que serviu de divisor em uma das divisões successivas a que conduz o processo usual, e sabemos que quando se multiplicam ou dividem o dividendo e o divisor por nm mesmo numero, o resto fica multiplicado ou dividido por esse mesmo numero.

2" Os quocientes das divisões ãe ãous ou mais numeros, respecti~ vãmente, pelo seu maior ãivisor commum, são numeros primos entre si.

É uma consequência da 1® propriedade. Com effeito, se o maior divisor commum aos numeros A, B e C, fôr D, o maior divisor commnm A B C , D ...

aos números-^-» e —- sera — = 1j logo esses quocientes sao

números primos entre si.

A reciproca também é verdadeira e enuncia-se do seguinte modo : Se dividirmos ãous.ou mais números por um outro numero tal que os quocientes respectivos sejam números primos entre si, o ãivisor empregado será o maior ãivisor commum aos números dados.

3? O máximo ãivisor commum a dous ou mais números ê o proãucto ãos factores primos communs a esses ãous ou mais números affeclaãos ãos menores expoentes que nelles existirem.

Sejam os números 1800 e 3780.

O numero 1800=2SX32X52 O numero 3780=22X33X5X7.

Trata-se de demonstrar que o máximo divisor commum é 22X32X5 oh o numero 180.

Com effeito, o numero 180 é divisor do numero 1800 por não conter divisores primos differentes dos queentram na composiçãod'esse numero, não tendo os factores primos do numero 180 expoentes maiores que os expoentes dos factores primos respectivos do numero 1800 ; sendo pela mesma razão o numero 180 divisor de 3780, segue-se que esse numero é divisor commum aos números 1800 e 3780.

É o maior divisor commum, porque sendo

1800_2® X32 X52_

180 22X32X& '

3780_22X33X5X7_s 180 22X32X5 "

os quocientes das duas divisões são números primos entre si.

Esta propriedade, vulgarmente designada—Composição do maior ãivisor commum, fornece um novo processo para achar o maior divisor commum a dous ou mais números. Basta, para isso, decompôr os uumeros dados em seus factores primos, e effectuar o producto de todos aquelles que fôrem communs aos números dados, dando a cada um d'esses factores eoctmuns o menor expoente que tiver.

Na theoria dos números primos aprenderemos a decompôr um numero qualquer em seus factores primos. THEORIA DOS NÚMEROS PRIMOS

88. Do grande numero de princípios pertencentes a esta theoria consideraremos sómente os indispensáveis para a continuação d'este curso.

Os princípios mais importantes da theoria dos números primos

são:

89.1? Principio.— Um numero dividindo a um producto ãe dou» factores e senão primo com um d'elles, divide necessariamente o outro factor.

Seja AB o producto e D o numero que divide a esse producto e é primo com o factor A.

Se D é primo com A, on se A e D são primos entre si, procurando o maior divisor commum de A e D, acharemos uma série de quocientes e uma série de restos, dos quaes o ultimo é a unidade. Sejam os restos snccessivos :

R, R', R"............. 1

Multiplicando os dous numeros A e D por B e procurando o maior divisor commum dos numeros AB e BD, acharemos os mesmos quocientes e os restos apparecerão multiplicados por B e serão BR, BR', BR"................. B

Mas D divide AB, por hypothese, e BD por ser múltiplo de D, e dividindo os dous numeros AB e BD, divide também o máximo divisor commum B a esses dous números.

Se um numero ãiviãir um producto ãe tres ou mais factores e fôr primo com um ãf elles, ãiviãe o producto ãos outros factores.

D'este principio resultam os seguintes corollarios :

1? Um numero primo dividindo um producto ãe ãous ou mais numeros, ãiviãe um ã'esses numeros.

Seja D o divisor do producto ABC.

Se D não dividisse A, seria primo com A, e por isso teria de dividir BC; se dividisse BC e não B, seria primo com B e portanto teria de dividir o factor C.

2o. Um numero primo ãiviãinão qualquer potencia ãe outro numero, ãiviãe também esse outro numero.

Seja Am uma potencia de A, e D e numero que divide Am.

Sabemos que Am=AXAXAX..........X^-. O numero D sendo primo e dividindo o producto Am, tem de dividir um dos factores ; sendo, porém, os factores iguaes a A, segue-se que o numero primo D divide A.

3? Senão um numero divisivel por ãous ou mais numêros primos entre si, ãous a ãous, ê divisivel pelo producto ã^lles.

Seja N o numero divisivel por a, b, c e ã, e sejam esses números a, b, c e ã, primos entre si dous a dous.

Se a divide N, o quociente da divisão é um numero inteiro que representaremos por q; e, por ser o dividendo igual ao producto do divisor pelo quociente

(1) N=aq ;

o numero b divide N e é primo com a, portanto tem de dividir q; mas se b divide q, o quociente d'essa divisão é um numero inteiro que representaremos por q'. Sendo o dividendo igual ao producto do divisor pelo quociente, temos

(2) q=bq' ;

o numero c dividindo N e sendo primo com a, divide q; dividindo q e sendo primo com b, divide q'. Se c divide q', o quociente da divisão é um numero inteiro g", e teremos

(3) q'=cq" ;

o numero d, dividindo N e sendo primo com a, divide q; dividindo q, e sendo primo com b, divide ç'; dividindo g' e sendo primo com c, divide q". Se d divide q", o quociente da divisão é um numero inteiro ; representan-do-o por q'", teremos:

(4) q"=dq"';

substituindo, na igualdade n. 3, 2" pelo seu valor, temos

q'=cdq"' ;

substituindo, na igualdade n. 2, q' pelo seu valor, vem

q=bcdq"' ;

substituindo, na igualdade n. 1, q' pelo seu valor, resulta

N=abcdq'" ;

dividindo ambos os membros da igualdade por abcd, achamos

N

--— =q"'

abcd

Sendo g"' numero inteiro, como quociente da divisão exacta de q" por d , segue-se que o primeiro membro é numero inteiro, isto ê, que o numero N é divisível por ábcd.

90. 2? Principio.—Um numero múltiplo tem pelo menos %m factor

primo.

Se o numero N é múltiplo, tem um ou mais divisores differentes de N e da unidade. Seja a o menor divisor de N; a questão reduz-se a demonstrar que a é primo. Se a não fosse primo, teria pelo menos um factor b differente de a e da unidade ; mas b dividindo a, tinha de dividir a N, por ser N múltiplo de a, o que não é possível, por termos supposto ser a o menor divisor de N.

91. 3? Principio.— Um numero múltiplo pôde ser sempre decomposto em factores primos, e ê igual ao producto d'elles.

Se o numero N é múltiplo, tem pelo menos um factor primo. Chamando a a esse factor primo e B o outro factor, será

N=aXB

Se B fôr primo, fica N igual ao producto de dons factores pri-sos ; mas se B fôr múltiplo, tem pelo menos um factor primo. Representando por 6 esse factor primo e o outro por C, teremos

B=bXC

substituindo, na igualdade N=aXB,B pelo seu valor, resultà

N=aXbXC

Se C fôr primo, fica N igual ao producto de tres factores primos ; mas se C fôr múltiplo, tem pelo menos um factor primo. Chamando c esse factor primo e D o outro factor, vem

C=cXD.

substituindo, na igualdade N=aXbXC, C pelo seu valor, temos

N=aXbXcXD

e assim por diante.

Os factores B, C, D, etc., sendo numeros inteiros que vão diminuindo successivameijte, não podemos deixar de chegar a um que seja numero primo, e portanto o numero N será igual ao producto de um certo numero de factores primos.

92. 4? Principio.—Senão ãous numeros inteiros primos entre si, as potencias ãe quaesquer grãos d'esses ãous numeros sâo também primos entre si.

Sejam A e B os dons números primos entre si. Se Am e Bn não fossem números primos entre si, teriam um divisor commum diferente da unidade. Seja D esse divisor commum.

Se D fôr um numero primo, dividindo Am e Bn, divide também A e B (n. 89), o que não é possível, porque esses dous números são por hypothese primos entre si.

Se D fôr múltiplo, é igual a um producto de factores primos a,

b, c, d, e......, isto é, D=abcde......; e se Am e Bn forem divisíveis

por D, serão também divisíveis por a, b, c, d...... números primos, e

dividindo todos elles Am e Bn, dividem A e B,- o que não é possível; logo Am e Bn são números primos entre si.

Meio de conhecer se nm numero é primo

93. Para conhecer se um numero qualquer é primo, ãiviãe-se

esse numero successivamente pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11......,

até achar um quociente menor que o ãivisor, sem que tenha deixado ãe haver resto em todas as divisões precedentes.

Dividindo o numero 457 successivamente por 2, 3, 5, 7, 11......

23, e dando o divisor 23 para quociente o numero 19, sem que se tenha achado um resto nullo, deve-se concluir ser primo o numero 457.

Com effeito, se o numero 457 não fosse primo, teria um divisor primo maior que J23 ; suppondo que esse divisor seja o numero 31, teremos 457=31XA, sendo A o outro factor do numero 457. Ora, 457<23X23, portanto 31XA<23X23, o que exige que A seja menor que 23. O numero 457 não pôde, pois, admittir um divisor maior que 23 sem que admitta um menor ; e sabendo-se que a não ser a unidade nenhum numero menor que 23 divide a 457, este numero não pôde ter um divisor maior que 23, e por consequência é primo.

Formulação de uma tabella de números primos

94. Facilmente se fórma uma tabella de números primos desde 1 até um certo limite determinado.

Vianna — Arithmetica fi Supponhamos que se trate de formar uma tabella contendo todos Os numeros primos comprehendidos entre os numeros 1 e 500.

Escreva-se a série dos numeros inteiros, supprimindo todos os numeros pares á excepção do numero 2. Ficarão assim excluídos todos os múltiplos de 2.

Supprimindo os múltiplos de 3, para o que basta excluir todos os numeros de tres em tres, a contar do numero 3 exclusivamente.

Supprimindo os múltiplos de 5, o que se consegue excluindo os numeros de cinco em cinco, a contar do numero 5 exclusivamente.

Supprimindo os numeros de sete em sete, de onze em onze, a contar dos numeros 7 e 11 exclusivamente, ficarão excluídos os múltiplos de 7 e 11.

Continuando do mesmo modo até o numero primo 19, que é o ultimo numero primo cuja segunda potencia é inferior ao numero 500, os numeros que restarem serão os numeros primos desde 1 até o numero 500.

Decomposição de um numero em seus factores primos

95. Decompõe-se um numero em seus factores primos dividindo etse numero successivamente pelos numeros primos 2, 3, S, 7, 11,13, etc., até achar para quociente um numero primo.

Representando por N o numero que se quer decompor em factores primos, por a o menor numero primo que o divide, e por q o quociente d'essa divisão, teremos

N—aq

Fica a questão reduzida a decompor o numero q em factores primos.

Representando por b o menor numero primo que divide q, e por q' o quociente da divisão, acha-se

q=bq'

Substituindo na primeira igualdade q pelo seu valor, rêsulta

N=abq' Ficamos reduzidos a decompor o numero q' em factores primos. E assim por diante.

Na pratica os números sao dispostos como segue

26460 2 13230 2 6615 3 2205 3 735 3 245 5 49 7 7 7

Formação dos divisores múltiplos de um numero

96. Sendo um numero múltiplo igual a um producto de factores primos, e um producto sendo sempre divisivel por qualquer de seus factores, segue-se que, conhecidos os divisores primos de um numero, combinando esses divisores primos dous a dous, tres a tres, quatro a quatro, etc., as differentes combinações serão divisores múltiplos do numero.

Seja o numero 560.

560 2, 280 2, 4 140 2, 8 70 2, 16 35 5, 10, 20, 40, 80 7 7, 35, 14, 70, 28, 1 jft - — t :

í-r >

140, 56,. 280,. 112, 560.,

O segundo divisor 2, combinado com o precedente, fórma o divisor 4.

O terceiro divisor 2, combinado com os precedentes, dous a dous, não fórma divisor differente dos conhecidos, mas combinado com elles tres a tres fórma o divisor 8.

O quarto divisor 2, combinado com os precedentes, dous a dous e tres a tres, não fórma divisor algum differente dos conhecidos ; mas, combinado com elles quatro a quatro, fórma o divisor 16. O quinto divisor 5, combinado com os precedentes, dous a dous, fórma o divisor 10. Os mesmos divisores, combinados tres a tres, formam o divisor 20 ; combinados quatro a quatro, formam o divisor 40 ; e combinados cinco a cinco, formam o divisor 80.

O sexto divisor 7 com os precedentes, combinados dous a dous, formam os divisores differentes 35 e 14; combinados tres a tres, formam os divisores 70 e 28 ; combinados quatro a quatro, formam os divisores 140 e 56 ; combinados cinco a cinco, formam os divisores 280 e 112 ; e, finalmente, combinados seis a seis, formam o divisor 560.

Composição do menor mnltlplo commum de dons ou

mais numeros

97. Para formar o menor múltiplo commum de dous ou mais numeros, decompõe-se esses numeros em seus factores primos e multiplicam-se os factores primos differentes, senão cada um d'elles elevado ao maior expoente.

Sendo: j ^

2100=22X3 X52X7 ' 7

2520=23X32X5X7 v J *

2700=22X33X52

O menor múltiplo commum dos numeros 2100, 2520 e 2700 ê 23X33X52X7=8X27X25X7=37800.

Com effeito, o numero 37800 contendo todos os factores primos que entram na composição dos numeros dados, e cada um d'esses factores tendo um expoente pelo menos igual ao expoente que tiver em cada um d'esses numeros, é necessariamente divisível por elles.

O numero 37800 é o menor múltiplo commum dos tres numeros dados, porque se houvesse um múltiplo dos tres numeros menor que 37800, esse numero devendo ser divisível pelos tres numeros dados, seria divisível também por 28, 33, 52 e 7, e como esses numeros são primos entre si dous a dous, seria divisivel pelo producto d'elles, que é o numero 37800, o que não é possível.