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RELAÇÕES ALGÉBRICAS ENTRE CERTOS PRODUTOS INFINITOS

(Proceedings of the London Mathematical Society, 2, xviii, 1920, Registros para 13 de março de 1919)

Foi provado pelo Prof. L. J. Rogers^[1] que

${\begin{aligned}G(x)&=1+{\frac {1}{1-x}}+{\frac {x^{4}}{(1-x)(1-x^{2})}}+{\frac {x^{9}}{(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})}}+\ldots \\&={\frac {1}{(1-x)(1-x^{6})(1-x^{11})}}\ldots \times {\frac {1}{(1-x^{4})(1-x^{9})(1-x^{14})\ldots }},\\\end{aligned}}$

e	${\begin{aligned}H(x)&=1+{\frac {x^{2}}{1-x}}+{\frac {x^{6}}{(1-x)(1-x^{2})}}+{\frac {x^{12}}{(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})}}+\ldots \\&={\frac {1}{(1-x^{2})(1-x^{7})(1-x^{12})\ldots }}\times {\frac {1}{(1-x^{3})(1-x^{8})(1-x^{13})\ldots }}.\\\end{aligned}}$

Provas mais simples foram encontradas posteriormente pelo Prof. Rogers e por mim^[2].

Agora encontrei uma relação algébrica entre $G(x)$ e $H(x)$ , permitindo-se ver: $H(x)\{G(x)\}^{11}-x^{2}G(x)\{H(x)\}^{11}=1+11x\{G(x)H(x)\}^{6}$ .

Outra fórmula digna de nota é

H(x)G(x^{11})-x^{2}G(x)H(x^{11})=1

.

Cada uma dessas fórmulas é a mais simples de uma grande classe.

↑ Proc. London Math. Soc., Ser. 1, Vol. xxv, 1894, pp. 318–343.
↑ Proc. Camb. Phil. Soc., Vol. xix, 1919, pp. 211–216. Uma breve relação histórica dos teoremas é dada pelo Sr Hardy em uma nota anexada a este artigo. [Para a prova de Ramanujan ver Nº 26 deste volume: as de Roger e a nota de Hardy referentes, são reproduzidas nas notas no Nº 26 no Apêndice.]

[1] Proc. London Math. Soc., Ser. 1, Vol. xxv, 1894, pp. 318–343.

[2] Proc. Camb. Phil. Soc., Vol. xix, 1919, pp. 211–216. Uma breve relação histórica dos teoremas é dada pelo Sr Hardy em uma nota anexada a este artigo. [Para a prova de Ramanujan ver Nº 26 deste volume: as de Roger e a nota de Hardy referentes, são reproduzidas nas notas no Nº 26 no Apêndice.]

[1]

[2]