Chamando, pois, o dividendo, o divisor, a parte inteira do quociente, e o resto da divisão, temos
Se e forem os restos das divisões de e por 9, resulta
Sommando as duas igualdades ordenadamente, vem
ou
O resto da divisão de por 9 é igual ao resto da divisão de pelo mesmo numero 9.
Para tirar, portanto, a prova da divisão na hypothese de não ser ella exacta: tiram-se os noves ao divisor e ao quociente; multiplicam-se os dous restos; somma-se o producto com o resto da divisão; tiram-se os noves ao resultado, e o resto deve ser igual ao resto que se obtém tirando os noves do dividendo.
83. Maximo divisor commum a dous ou mais números é o maior numero que divide exactamente a esses dous ou mais números.
A demonstração do processo para achar o maximo divisor commum a dous numeros depende dos tres principios seguintes, já demonstrados.
- Um numero dividindo um outro, divide também a qualquer múltiplo d'esse outro.
- Um numero dividindo as parcellas de uma somma, divide também a somma.
- Um numero dividindo a somma de duas parcellas e a uma d'ellas, divide também a outra parcella.
Considerando que o dividendo é uma somma de duas parcellas, a saber, o producto do quociente pelo divisor e o resto, costuma-se enunciar o 2º e o 3º principios da seguinte fórma:
