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neamente estes valores em fracção conl.nua, ate chegarmos a d( ;s quocientes differentes. Feito isto, os termos commrns aos dois desenvolvimentos pertencem ao desenvolvimento pedido.
Com effeito, seja x urna quantidade comprehend:da entre y e z, isto é,
y<x<z................(1);
e supponhamos que y e z, desenvolvidos em fracção continua, dão
1 1 1
y' y y"
í í i
Estancio x compreliendido entre y e z, a sua parte inteira é a. Porque, se a parte inteira de x fosse maior do que a, seria x>z; e se fosse menor, sei ia x<y, contra a hypoihese Teremos pois
'■'J , 1
r»=a-r —r. x'
Substituindo em (1) os valores de y, x e z, vem
1 1 1111
a+—r<a-\-- <a + —ou —r<-7<-r, y x' z y x z
e por consequenca y'>jfb >z'................ (2).
Ora, estando x' comprehendHo entre y' e z', e tendo y' e z' a mesma parte inteira b, será também b a parte inteira de x'; e por isso
Substitu ndo em (2) os valores de y', x' e z', vem 1,1,1 111
y x z' y' x z'
e por consequência y1' < x" z'1.
Estando pois x*'\ çomprehendide entre y" e z", e tendo y>' e z"
