Tratado de Algebra Elementar/Livro 1/Capítulo 1

by José Adelino Serrasqueiro

ALGEBRA ELEMENTAR

LIVRO PRIMEIRO

CALCULO ALGEBRICO

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CAPITULO I

Noções preliminares

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§1º Signaes algebricos

1. Álgebra elementar é a sciencia que tem por objecto simplificar e generalisar as questões relativas aos numeros.

Para conseguir este duplo resultado, emprega a algebra tres ordens de signaes: signaes das quantidades, signaes das operações e signaes de relação.

2. Signaes das quantidades. Com o fim de generalisar, necessita a algebra de symbolos geraes, que possam representar toda e qualquer grandeza. É esta a razão, por que se representam as quantidades por meio das letras do alphabeto.

Ordinariamente as primeiras letras a, b, c, etc., empregam-se para representar as quantidades conhecidas; e as ultimas x, y, z, t, etc., para representar as quantidades desconhecidas.

Quando as quantidades apresentam entre si alguma analogia, representam-se pela mesma letra, affectada de um ou mais accentos; por exemplo, a', a'', a''', que se lê: a linha, a duas linhas, a tres linhas. Ou então representam se pela mesma letra, escrevendo á sua direita e um pouco abaixo os numeros 1, 2, 3, etc.; por exemplo, a₁, a₂, a₂, que se lê: a indice um, a indice dois, etc. 3. Signaes das operações. Os signaes com que se indicam as operações em algebra, são os mesmos que se empregam na arithmetica.

Para indicar a somma, emprega-se o signal $+,$ que se lê mais.

Por exemplo, para indicar a somma das quantidades $a$ e $b,$ escrevemos $a+b.$

Para indicar a subtracção, emprega-se o signal $-,$ que se lê menos. Assim, querendo de $a$ tirar $b,$ escreveremos $a-b.$

Para indicar a multiplicação, emprega-se o signal $\times$, ou um ponto $\cdot$ collocado entre os factores, ou escrevem-se simplesmente os factores sem interposição de signal. D'este modo para indicar a multiplicação dos factores $a,b,c,$ escreveremos $a\times b\times c,$ ou $a\cdot b\cdot c,$ ou $abc.$

Advertiremos que não podemos empregar esta ultima notação, quando os factores forem numericos, em virtude do valor relativo dos algarismos.

Quando algum factor constar de differentes quantidades, encerra-se entre parenthesis: assim, $(a+b-c)d$ indica que o todo $a+b-c$ se tem de multiplicar por $d:$ do mesmo modo $(a+b-c)(d+e)$ exprime que o todo $a+b-c$ se tem de multiplicar pelo todo $d+e.$

O parenthesis não se emprega só neste caso: em geral emprega-se para denotar que a quantidade que está dentro d'elle deve soffrer a operação, indicada pelo signal que o precede. Assim, $a-(b+c-d)$ exprime que de $a$ devemos tirar o todo $b+c-d.$

Para indicar a divisão, escreve-se o dividendo por cima de uma linha horizontal, e por baixo o divisor; ou então separa-se o dividendo do divisor por meio de dois pontos. Assim, ${\frac {a}{b}},$ ou $a:b$ lê-se $a$ dividido por $b.$

Para indicar a extracção de raizes, emprega-se o seguinte signal ${\sqrt {\quad }},$ chamado radical: e na abertura do radical escreve-se o numero que indica o grau da raiz, excepto se for o segundo, porque então não se costuma escrever. Assim, ${\sqrt {a}},{\sqrt {3}}{b},$ significam raiz quadrada de $a$, raiz cubica de $b.$

4. Para representar a somma de parcellas eguaes, convencionou-se escrever sómente uma das parcellas, e á sua esquerda e na mesma linha escrever o numero que indica o numero das parcellas. Assim, em logar de $a+a+a$, escreve-se $3a$. Neste caso, ao numero 3 dá-se o nome de coefficiente. Portanto coeficiente de uma quantidade é o numero que indica quantas vezes essa quantidade entra por parcella.

Do mesmo modo para representar o producto de factores eguaes, convencionou-se escrever sómente un dos factores, e á sua direita e um pouco acima escrever o numero que indica o numero dos factores. Assim, em logar de $a\times a\times a$, escreve-se $a^{3}$. Neste caso, o numero 3 chama-se expoente. Portanto expoente de uma quantidade é o numero que indica quantas vezes essa quantidade entra por factor.

Quando uma quantidade entra somente uma vez por parcella ou por factor, tanto o seu coefficiente como o seu expoente são a unidade; e neste caso convencionou-se não os escrever.

5. Signaes de relação. Para indicar que duas quantidades são eguaes, separam-se pelo signal $=$, que se lê é egual. D'este modo $a+b=c$, lê-se $a$ mais $b$ é egual a $c$.

A expressão $a+b=c$ chama-se egualdade. As quantidades, separadas pelo signal $=$, chamam-se membros; o que fica á esquerda d'aquelle signal chama-se primeiro membro, e o que fica á direita segundo membro.

Para exprimir que uma quantidade è maior ou menor do que outra, empregaremos no primeiro caso o signal $>$, que se 1ê maior que, no segundo o signal $<$, que se lê menor que. Assim, $a>b$ lê-se $a$ maior que $b$; $a<b$ lê-se $a$ menor que $b$.

Para indicar que uma quantidade é differente de outra, emprega-se o signal $\gtrless$. Assim, $a\gtrless b$, lê-se $a$ maior ou menor que $b$, ou $a$ differente de $b$.

6. A representação dos números por meio de letras, e a indicação das operações e das relações de grandeza por meio dos signaes constituem o que se chama notação algébrica.

7. Vamos agora mostrar como, por meio d'estes signaes, se conseguem os dois objectos principaes da algebra, a simplificação e a generalisação. Supponhamos o seguinte problema:

Dividir 52 em duas partes laes, que o excesso da segunda sobre a primeira seja 48.

Como a segunda parte é egual á primeira mais 18, a somma das duas partes será egual á primeira, mais a primeira com 18; ou egual a duas vezes a primeira com 18.

Mas, pelas condições do problema, a somma das duas partes é 52: logo, tirando 18 de 52, o resto 34 será o dobro da primeira parte; e, dividindo 34 por 2, o quociente 17 será a primeira parte.

Sendo, pois, 17 a primeira parte, como o excesso da segunda sobre a primeira é 18, será 17 mais 18 ou 35 a segunda.

Emprego dos signaes como meio de simplificação. Para simplificar a resolução do problema, representemos agora a primeira parte por $x$: a segunda será $x+18$, e a somma das duas partes será $2x+18$; e como esta somma deve perfazer o numero proposto, teremos

$2x+18=52$.

Tirando 18 aos dois membros d'esta egualdade, vem

$2x=52-18$ ou $2x=34$,

e dividindo por 2, temos $x=17$.
que é a primeira parte; e por consequência a segunda é $x+18=35$.

Este exemplo mostra claramente como os signaes das operações e os signaes de relação simplificam a resolução do problema, apresentando o raciocinio escripto em um pequeno quadro, que facilmente abrangemos. Em quanto que, sem o emprego d'estes signaes, é necessaria mais attençâo para nos não confundirmos com as muitas palavras que temos de empregar para exprimir as relações das quantidades.

Emprego das letras como meio de generalisação. Vimos já como a algebra simplifica as questões relativas aos números, empregando os signaes da operações e os signaes de relação. Vejamos agora como ella as generalisa.

Ora, no problema antecedente, o resultado $x=17$ não indica as operações que se fizeram para o obter; e por isso, se tivermos de resolver o mesmo problema com dados diffrentes, é necessario repetir o mesmo ráciocinio. Evita-se, porém, este inconveniente, representando os dados do problema por meio de letras, como se vê do seguinte modo:

Dividir o numero a em duas partes taes, que o excesso da segunda sobre a primeira seja b.

Representando a primeira parte por $x$; a segunda será $x+b$: logo a somma das duas partes será $2x+b$; e como esta somma deve perfazer o numero proposto, temos

$2x+b=a$.

Tirando $b$ aos dois membros d'esta egualdade, vem

$2x=a-b$,

ou, dividindo por 2, $\scriptstyle {x={\frac {a-b}{2}}}$.

Assim, o valor da incógnita vem representado, não por um numero, mas por uma fórmula, isto é, por um quadro que indica as operações que temos de fazer sobre os dados do problema, em cada caso particular, para achar o valor da incógnita.

Depois de obtida a fórmula de um problema, para resolver este em cada caso particular, basta reduzir a fórmula a números, isto é, substituir as letras pelos dados numéricos.

§2º Expressões algebricas.
Reducção

8. Expressão algebrica é a runião de quantidades representadas por letras, e ligadas entre si pelos signaes das differentes operações.

As expressões algébricas dividem-se em racionaes e irracionaes; e umas e outras subdividem-se em inteiras e fraccionarias.

Expressão algebrica racional é a que não contém letras debaixo de radicaes; e irracional a que as contém.

Expressão algébrica inteira é a que não contém letras em denominadores; e fraccionaria a que as contém.

Atsim, $\scriptstyle {7a^{3}b-{\frac {4}{5}}abc}$ e $\scriptstyle {\frac {4a^{2}-3ab^{2}{\sqrt {5}}}{a+b}}$ são expressões racionaes:  a primeira inteira e a segunda fraccionaria; em quanto que $a+{\sqrt {ab}}$, e ${\frac {3a-{\sqrt {a}}b^{2}}{3a^{2}-b}}$ são irracionaes.

Muitas vezes considera-se a natureza da expressão sómente em relação a uma letra. Assim

${\frac {3}{4}}x^{2}-5ab^{2}x^{2}+{\frac {6}{7}}a^{3}x-{\sqrt {ab^{3}}}$

é uma expressão algébrica racional e inteira em relação a x, pois que não contém $x$ debaixo de radicaes nem em denominadores.

9. Termo é a expressão algébrica em que não ha inlerposição do signal + ou —. Taes são as expressões: $5a^{2}b^{3}c$,${\frac {4}{7}}ab^{9}$.

Termo positivo é o termo precedido do signal +. Termo negativo é o termo precedido do signal —. O termo, que não é precedido de signal, considera-se positivo.

Termos similhantes são os que contêm as mesmas letras affectadas respectivamente dos mesmos expoentes, sejam quaes forem os signaes e os coefficientes. Assim, $3ab^{2}c^{3}$, $-5ab^{2}c^{3}$, $-ab^{2}c^{3}$ são termos similhantes; e pelo contrario não são similhantes os termos $3ab^{2}c^{3}$ e $-5a^{4}b^{2}c^{3}x$, pois que a letra $a$ não tem o mesmo expoente em ambos.

Grau de um termo é a somma dos expoentes dos seus factores literaes; e grau de um termo em relação a uma letra é o expoente d'essa letra. Exemplo: $7a^{3}b^{4}x^{2}$ é um termo do nono grau; e, além d'isto, é um termo do segundo grau em $x$.

10. As expressões algebricas, em relação ao numero dos seus termos, dividem-se em monomios e polynomios.

Monomio é a expressão algebrica composta de um só termo. Polynomio ê a expressão algébrica composta de dois ou mais termos. Ha dois polynomios que têm nomes particulares: o polynomio de dois termos chama-se binomio, e o de três, trinomio.

As expressões $3a^{2}b^{5}$, ${\frac {4}{5}}a^{2}{\sqrt {b}}$ são monomios.

As expressões $3a^{2}-5ab$, ${\frac {a}{2}}+4{\sqrt {ab}}$ são binomios.

A expressão $2a^{2}+{\frac {3}{2}}{\sqrt[{3}]{ab^{2}}}-5b^{3}$ é um trinomio.

A expressão $6a^{2}+{\frac {3}{2}}{\sqrt[{3}]{ab^{2}}}-3b^{3}+{\frac {3}{4}}ab^{2}$ um polynomio.

11. Um polynomio diz-se homogeneo, quando todo os termos são do mesmo grau; e na caso contrario diz-se não homogeneo.

Grau de um polynomio homogeneo é o grau de qualquer dos seus termos; e grau de um polynomio não homogeneo é o grao mais elevado dos seus differentes termos.

Exemplo:

$3a^{4}b^{2}c-15a^{2}b^{3}c^{2}+3ab^{4}c^{2}-9ab^{6}$

é um polynomio homogeneo do setimo grau; e

$5a^{4}b^{2}-3a^{2}b^{4}c^{2}+7ab^{6}-8a^{2}b^{6}c^{2}$

é um polynomio não homogeneo do decimo grau.

12. Um polynomio diz-se ordenado em relação a uma letra, quando os seus termos se acham dispostos de modo que o expoente d'essa leira vae successivamente augmentando ou diminuindo. No primeiro caso, o polynomio diz-se ordenado segundo as potencias crescentes dessa letra; e no segundo caso, diz-se ordenado segundo as potencias decrescentes. A letra, em ordem á qual o polynomio está ordenado, chama-se letra principal.

Assim o polynomio

$5b^{2}-3ab^{3}+7a^{2}b+2a^{3}b-5a^{4}$

está ordenado segundo as potencias crescentes de $a$; e o polynomio

$3b^{6}-7a^{2}b^{4}+3a^{3}b-4a$

está ordenado segundo as potencias decrescentes de $b$.

13. Um polynomio ordenado diz-se completo, quando contém todas as potencias da letra principal desde a mais alta que entra nelle até á potencia zero; e no caso contrario diz-se incompleto. D'este modo

4«* —6as» + 2a* + 3x — 7 é um polynomio completo; e

6x7 — 4xs + 2a;3 + 1xl é um polynomio incompleto.

11. Quando a letra principal entra com a mesma potencia em muitos termos, tira-se essa potencia para fóra de um paren- thesis; ou entào escreve-se essa }>otencia sómente uma vez, e á sua esquerda e em linha vertical escrevem-se os diíTerentes mul- tiplicadores.

Assim, ordenando em relação a a; o polynomio

ax? — òV + UAt + + a3x + 3ahx* — ah* -f 3a%x + a4 -f 6ah* + 5bx3,

vem

(a + 56) x3 4- (3 ab — a9 — x8 + (563 + 3a«6) ® + 2 a36 + o4 + 6a63,

ou

a

■4

— a2

—

a^+563 + a3 + 3as6

x + 2a3ò + a1 + 6a63.

15. Hebucção nos termos similhantes. Quando um poly- nomio tem termos similhantes, é susceptível de uma simplificação, que consiste em reunir em um só os termos similhantes; e a esta operação dá-se o nome de reducção. Temos evidentemente

7a + 3a% + l\a% - 7a + 8a%, 7a - 3a% - 5a«6 = 7a - (3a*b + 5a?b) = 7a - 8a*b, 7a - 3«26 + 5a*6 - 7o - 3a26 + 3a26 + 2a26 = 7« + 2o56, 7a + 3a26- <âa% = 7a + 3a96- 3a2ó - 2a*6 - 7a - 2a*6.

D'onde se conclue o seguinte processo para fazer a reducção: Se os termos similhantes tiverem o mesmo signal, sommam-se os seus coeficientes, dá-se a esta somma o signal commum e faz-se seguir da parle literal de um dos termos: se tiverem signaes diffe- rentes, subtrahem-se os coeficientes, dá-se ao resultado o signaí do termo maior e faz-se seguir da parle literal commum. Exemplos:

3fl3 _ + 7abz _ a3 + 2a86 — 3 «fc2 + 2o3 + a*b — = 4«3 — 2a26 — ab\

4a;3 + 6ax* + 7 a*b + 3c2 — 6 a% + 8x3 — 9c2 — 1Soa8 + 7c* — 3 aH - 9a;3 + 9 «a2 = 3a;3 - 2<i*& + ê.

IO. Diz-se que uma quantidade x 6 variavel, quando passa por differentes estados de grandeza; e á expressão algébrica, que contém uma ou mais quantidades variaveis, dá-se o nome de funcção d'essas variaveis. Portanto :

Funcção de uma ou mais variaveis é a expressão composta d'essas variaveis e de quantidades constantes.

Assim, 3a?3 — 4a;+ 8 é uma funcção de x; e 2a;2— 4a*/+ 8 é uma funcção de x e y.

Uma funcção de x represenla-se pelas seguintes notações:

•

f{x), F(as), 9 (a?), etc.

Uma funcção de duas variaveis x, y, representa-se do seguinte modo:

f (a?, y), F (x, y), 9 (x, y), etc.

Quando as funcções são differentes, fazem-se preceder os pa-

renthesis de letras ou características differentes. Assim

»

3a;2 + &C — 8 = /»

7a?4 - 4a;3 + 8x — 9= F (x).

Quando as funcções se compõem do mesmo modo com as variaveis que ellas contêm, representam-se pela mesma letra ou caracteristica. Assim

8xl — 3xV + 7x + 8 = f(x) 8j/4 •—• 3y2 + 7y + 8 — f'y). 3.° Valor das expressões algébricas. Quantidades negativas

17. Valor numérico de uma expressão algébrica é o resultado que se obtém, quando se substituem as letras por números e se fazem as operações indicadas.

Assim, se na expressão $5a^{2}b-2ab^{3}\,$ for a = 7 e b = 4, o seu valor numérico será

$5.7^{2}.4-2.7.4^{3}=980-896=84\,$;

e se for $a={\frac {4}{5}}\,$ e $b={\frac {2}{3}}\,$, o valor numérico será

$5.{\frac {16}{25}}.{\frac {2}{3}}-2.{\frac {4}{5}}.{\frac {8}{27}}={\frac {32}{15}}-{\frac {64}{135}}\,$

18. Expressões algébricas equivalentes são aquellas que tomam valores numéricos eguaes, quando se substitue em ambas cada letra pelo mesmo numero tomado arbitrariamente. Assim

(a + b)(a - b) e a² - b²

são expressões equivalentes.

19. Operação algébrica é a transformação de uma expressão algébrica em outra equivalente.

A reunião dos processos empregados para effectuar as operações algébricas constitue o calculo algébrico.

20. O valor numérico de um polynomio ê egual á somma dos termos positivos menos a somma dos termos negativos.

Supponhamos o polynomio

a — b + c — d,

no qual, para mais simplicidade, representamos cada termo por uma só letra. Como podemos escrever os termos por outra ordem, temos

a — b + c — d = a + c - b - d = a + c - (b + d) = A - B, representando por A a somma dos termos positivos e por B a dos

termos negativos

21. Quantidades negativas. Supponhamos o polynomio

$P=a-b$,

sendo $a$ a somma dos termos positivos e $b$ a dos termos negativos.

Substituindo as letras por numeros quaesquer, podem apresentar-se tres casos, segundo for $a>b$, $a=b$, $a<b$.

Nos dois primeiros casos, a subtracção não offerece dfficuldade; porém, no terceiro a subtracção é impossível, e a expressão $a-b$ não tem directamente significação nenhuma. Vejamos pois como se deve definir o valor do polynomio neste caso.

Sendo $b<a$, podemos suppor

$b=a+\alpha$,

sendo $\alpha$ o excesso de $b$ sobre a, isto é, $b-a=\alpha$.

Ora de $a$ podemos tirar a primeira parte de $b$; e como resta ainda para subtrahir o segunda parte $\alpha$, convencionou-se affectal-a com o signal —, escrevendo $-\alpha$, e assim temos

$P=a-b=-\alpha =-(b-a)$;

e de mesmo modo para $a=15$, $b=19$,

$P=15-19=-4$;

Esta resultado chama se ainda valor numerico do polynomio.

Ás expressões da fórma $-\alpha$, $-5$, ... , dá-se o nome de quantidades negativas. Portanto quantidade negativa é a quantidade affecta do signal —.

Em opposição a estas, dá-se o nome de quantidades positivas ás que são precedidas do signal +.

Valor absoluto de uma quantidade negativa é o seu valor independente de signai. Assim, o valor absoluto de $-5$ é $5$.

A introducção das quantidades negativas no calculo algebrico é um poderoso meio de generalisação; e já vimos que, pela sua consideração, um polynomio tem sempre um valor numerico, quando se substituem as letras por numeros quaesquer.

22. Interpretação das quantidades negativas. Ha muitas grandezas susceptiveis de se tomarem em dois sentidos oppostos, taes são: os ganhos e perdas de um jogador, as distancias medidas sobre uma recta a partir de um ponto fixo, o tempo con tado a partir de um instante dado, etc.

É pois necessario que a algebra indique por meio de signaes os dois sentidos oppostos, segundo os quaes certas grandezas se podem tomar. Para isso, faz-se a seguinte convenção: quando uma grandeza é susceptível de se tomar em dois sentidos oppostos, considera-se como positiva em um dos sentidos, e como negativa no sentido opposto.

Assim, se $+a$ representar um tempo futuro a partir de um instante dado, $-a$ representará um tempo passado; se $+a$ representar um ganho, $-a$ representará uma perda, etc.

EXERCICIOS

1. Calcular, para $a=2$ e $b=3$, o valor numerico de

$5a^{2}b^{2}-3a^{2}b^{3}+ab^{4}$.

2. Calcular, para $a={\frac {1}{2}}$,o valor nunierico de

6a^4-4a^3+3a^2-2a-3</math>.

3. Calcular, para a = 5, b — 3, c = 2, o valor numérico de

abe — (a-j-b+c) a -{-b — c

4. Calcular, para a — 1, b — 4, ó valor numérico de

3a2— 4a + S63 — ja*b\ i

5. Calcular, para «;== 2 e 6 = y, o valor numérico de

<òcW — 4 aW -f — 3.

6. Calcular, para x = 2, a = 3, b = 2, o valor numérico do

10a;3 — Saa,2 + Mx + Sa? 9

8{a-\-b)(a — b)

7. Reduzir a expressão

4«6a + 2 a?b — ab~ + Wb — Wb + KaR

8. Reduzir a expressão

Sa*b — 3(dfi + 7a2 -f- 4ab* — 6a*b - 12a2 Wb - alP.