Tratado de Algebra Elementar/Livro 1/Capítulo 5

by José Adelino Serrasqueiro

(a + 6V^T)(«' + = aa' 4 ha'\Z~i 4 a6'l^T-f 66'x-l

= (aa' - 66') 4 (6a' 4 a?/) \/: \ = A 4 B T!

a 4 6 t/~T + '6 /^(a' — 6V- 1) a'46' ~~ (a'4 b' )(«' _ 6't/=lj

_ aa' + 6a' l/j:T-q6f t7—1 x-1 _ (a«'4 bb')+{ba!- ab')\/-\

a'i ■— (>'* x — 1 aa+bb' ba' — ab'

o'« 4 6'2

a'2 + 6'2 a'2 4 6'â

1 = A 4 B /—l.

9i). Representação ítEomethioa das quantidades imagikamas. Uma quantidade imaginaria pode sempre representar-se pela fórma seguinte :

. 4- W-1 _ ^ + b^™ 4

6®

Ora, sendo ((_JL^Y= + = 1,

podemos por

= cos a,

■ sen a;

+T2

i! pondo, por outra parte, m = \/tíx -f- b2

teremos a -f- b[/■— l=m (cos cc -f- sen o.. j/ — 1).

A quantidade m chama-se modulo do imaguiario a + fcy/^Tl, e o an- gulo o. é o seu argumento. Posto isto, tracem-se dois eixos rectangulares oca;1, y?/: â partir do ponto

O, que chamaremos origem dos imaginários, marque-se sobre o eixo dos x um compri- mento OP = a; sobre o eixo dos y, e tam- bém a partir do ponto O, marque-se um com- primento OQ = b; e sobre as rectas OP e OQ construa-se um rectângulo.

O ponto M fica determinado, quando se derem as quantidades a o b, ou quando se der o imagina rio aj-btf—1; e reciproca- mente, sendo dado o ponto M, corresponde- nte sempre um imaginario determinado, cuja parte real é representada pela abscissa e o coefflciente de /—1 pela ordenada d'esse ponto. Além (Visto, tirando a recta OM, temos

OM = v/OP2 + Ml" = t/a* T =»»>

MP b

Seil MOP = -rrrr = . = SBO G,

OM

OP a

cos MOP = t^rr = _ = cos «.

OM \/(íi -jlftt

Portanto: Uma quantidade imaginaria representa geometricamente um ponto, que tem por absrissa a parte real do imaginado, e por ordenada o coefficiente de \f—LA recta, tirada d'esse ponto para a origem, representa o nwdulo, e o angulo d'esta recta com o eixo dos x«o argumento do imagi- nário.

CAPITULO V

Quadrado e raiz quadrada dos polynomios. Calculo dos expoentes negativos e líaccionarios

§ 1.° Oi 11*acl o o raiz quadrada cios polyiLomios

•í£©. Depois de termos tractado das potencias e raizes dos monomios, seguia-se estudar em geral as potencias e raizes dos polynomios. Poróm, neste logar, consideraremos somente o qua- drado e a raiz quadrada.

B4&1. O quadrado de um polynomio qualquer ê egual á somma dos quadrados de cada uni dos seus lermos, mais o dobro dos productos d'estes lermos tomados dois a dois.

Consideremos em primeiro logar o biuomio a + b: temos (n.° 42, 1.°)

(a fc2) — a2 + 2afc + fc2.

Consideremos em segundo logar o trinomio «+ b + c: fazendo b-Y c — d, vem

(a + b + c)2 = (a + d4) = a2 + 2ad + d2 = a2 + 2a(ò + c) + (ò + c)2 = a2 + 2ab + 2ac 4 6« + 2bc -f- c2 = a2 + + c2 + 2 ab + 2ac + 2 bc. Estes resultados mostram que a lei tem logar para um bino- mio e para um trinomio.

Vamos agora generalisar a lei, demonstrando que, se ella tiver logar para um polynomio de m termos, terá também logar para um polynomio de m + 1 termos. Seja

P = a + b + c + ...\k + l

um polynomio de m + 1 termos: designemos por A a somma dos m primeiros termos, isto é,

A —a + b+ c + .. .-f/c,

e supponbamos que a lei tem logar em relação a este ultimo polynomio: será

A2=-«« + ò2 + c? + . . .-+ le2 + 2ab +• 2ac +. . , + 2a/c + 2bc+. . . + 2b/t + .. ..

Posto isto, substituindo no polynomio P a somma dos m pri- meiros termos por A, temos

P = A + l.

ou, quadrando, Ps = A2 + P + 2Al.

Mas, por hypothese. A2 contém a somma dos quadrados dos m primeiros termos do polynomio P: logo A2 4 P contém a somma dos quadrados de todos os seus lermos. Além d'isto, por hypo- these A2 contém também os duplos productos dos m primeiros termos dois a dois: e como 2Al contém os duplos productos dos m primeiros termos pelo ultimo termo l, segue-se que A'i + 2Al contém os duplos productos de todos os termos dois a dois.

Temos pois demonstrado que, se a lei tiver logar para um po- lynomio de m termos, tem também logar para um polynomio de m + 1 termos. Mas reconhecemos que a lei é verdadeira para um polynomio de tres termos; logo é lambem verdadeira para um polynomio de quatro termos, e assim por deante. Fxemplo :

(8a + 2&2-5c+4fli3)2 = 9a2+4/>4+25c2 i I6«2ò«+12aò2-30ac + 2ia2&3-20 Pc+ 16af)8-40a&3c.

Adveutencia. Designando por Sa2 (lê-se: sigma de a2, ou sommatorio de «2) a somma dos termos analogos a a2, isto é, a2 4 624c2 + . . +/2; e por 22a6 a somma cTos duplos pro- ductos, podemos representar o quadrado de um polynomio pela seguinte notação:

(a + fc + c 4 .. .4-Z)2 = £a24£2tf&.

IO®. Raiz quaduada nos polynomios. Seja A um polynomio ordenado segundo as potencias decrescentes de uma letra, e B a sua raiz quadrada, que supporemos ordenada do mesmo modo.

Como o quadrado é o producto de dois factores eguaes, será

A = BxB.

Mas, se dois polynomios e o seu producto estiverem ordenados segundo as potencias decrescentes da mesma letra, o primeiro termo do producto provém sem reducção da multiplicação do pri- meiro termo do multiplicando pelo primeiro termo do multipli- cador: logo, designando por a o primeiro termo de A e por 6 o primeiro termo de cada um dos factores, teremos

a — b"2, e por consequência b — \>'a.

D'onde se conclue que: para obter o primeiro termo da raiz, devevws extrahir a raiz quadrada do primeiro termo do polynomio proposto.

Designando por R a reunião dos lermos desconhecidos da raiz, será esta representada por 64 R; e teremos

A = (b + R)2 — 62 + 26R + R2, ou, tirando 62 a ambos os membros,

A — i>2 = A'— R (26 + H),

sendo o resto A' um polynomio conhecido.

Ordenando este resto A' segundo as potencias decrescentes da mesma leira, o primeiro termo de A' resultará sem reducção da multiplicação do primeiro termo de R por 26: logo, designando por a1 o primeiro termo de A' e por b' o primeiro termo de R, que é o segundo termo da raiz, teremos

a'

a' — b' x26, e por consequência b'= ——. Donde se conclue que: para oller o segundo termo da raiz, sublrahe-se do polynomio proposto o quadrado do primeiro termo da raiz, e divide~se o primeiro lermo do resto resultante pelo dobro do primeiro lermo da raiz.

Designando agora por B' a reunião dos dois termos, já conhe- cidos da raiz, e por U' a reunião dos termos desconhecidos, a raiz será representada por B' 4- R'; e teremos

A = (B' + R')2 = B'2 + 2B'R' + R'2, ou, tirando B'2 a ambos os membros,

A — B'2 = A" => R'(2B' + R'),

sendo o resto A" um polynomio conhecido.

Ordenando esse resto A segundo as potencias decrescentes da mesma letra, o primeiro termo de A resultará sem reducção da multiplicação do primeiro lermo de R' pelo primeiro ternn de 2B': logo, designanda por a" o primeiro termo de A" e por '/' o primeiro termo de R', que é o terceiro termo da raiz, terem >s

.a" a — b"x 26, e por consequência b" =

D'onde se conclue que: para achar o terceiro termo da raiz, sublrahe-se do polynomio proposto o quadrado da raiz achada, r divide-se o primeiro lermo do resto resultante pelo dobro do primeiro termo da raiz.

Por um raciocínio similhante se acham os mais termos da raiz.

Advertiremos que: para achar um dos restos A", tanto faz subtrahir do polynomio proposto o quadrado da raiz achada, como sublrahir do resto antecedente o producto do ultimo termo achado por si mesmo e pelo dobro de cada um dos lermos antecedentes.

Com eíFeito, substituindo na egualdade antecedente o valor de lt', vem

= A-B'2 - A - (6 4- ò')2=A - 62— (266'+6'2) =A'-(26+6')6'.

Portanto, para extrahir a raiz quadrada de um polynomio, or- dena-se segundo as potencias crescentes ou decrescentes de uma letra; extrahe-se a raiz quadrada do seu primeiro termo, e assim se obtém o primeiro termo da raiz, que se eleva ao quadrado, e se subtrahe"este do polynomio proposto.

D'este modo obtem-se um resto, cujo primeiro termo, dividido pelo dobro do primeiro termo da raiz, dá o segundo termo, que se multiplica por si mesmo e pelo dobro do termo antecedente, e o resultado se subtrahe do primeiro resto.

Assim obtem-se um segundo resto, cujo primeiro termo, dividido pelo dobro do primeiro termo da raiz, dá o terceiro, e assim por deanle. Exemplo:

bQaW— 56a6«3+>Aa(<x:í—16 a\v -f- 4a8 —49a V 7a2»2---4a3a;-4-âa* Vut-x1 (14azx2 — kaHc) X — 4a3x (14à*x* - 8a3x -f 2a*) X Lla>> •— S6a5«3+44 a6x~ — I Cíí7íc-|- 4fls +56a5a;3— tôaW

WaPxZ-lWx+iia» O

103. Quando um polynomio ordenado é um quadrado perfeito, o seu primeiro termo é o quadrado do primeiro termo da raiz, e o ultimo termo é o quadrado do ultimo termo da raiz. Portanto, reconhece-se que um polynomio não tem raiz quadrada exacta:

1.° Quando o primeiro termo e o ultimo não são quadrados perfeitos.

2.° Quando, sendo o ultimo termo um qnadrado perfeito, ap parece na raiz um termo que contém a letra principal com um expoente inferior ao da raiz quadrada d'aquelle ultimo termo.

3." Quando sendo o ultimo termo um quadrado perfeito, ap- parece na raiz um termo do mesmo grau em relação á letra prin- cipal, mas differente d aquelle que devia ser o ultimo.

4.° Quando, sendo o ultimo termo um tjuadrado perfeito, ap- parece na raiz exactamente o termo que devia ser o ultimo, sem que o resto correspondente seja nullo.

| 2.® Oaloulo dos expoentes negativos e íraccionàrios 1

l©-3. Vimos como a divisão algébrica nos conduziu aos ex- poentes negativos, e a extracção de raizes aos expoentes fraccio- narios; e vimos também qual a significação d'estes expoentes. Vamos agora demonstrar que as regras do calculo algébrico têm logar para estas especies de expoentes.

105. Expoentes negativos. 1.^o Multiplicação.

$a^{m}\times a^{-n}=a^{m}\times {\frac {1}{a^{n}}}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}\,$,

$a^{-m}\times a^{-n}={\frac {1}{a^{m}}}\times {\frac {1}{a^{n}}}={\frac {1}{a^{m+n}}}=a^{-m-n}\,$,

2.^° Divisão.

$a^{-m}:a^{n}={\frac {1}{a^{m}}}:a^{n}={\frac {1}{a^{m+n}}}=a^{-m-n}\,$,

$a^{m}:a^{-n}=a^{m}:{\frac {1}{a^{n}}}=a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}\,$,

$a^{-m}:a^{-n}={\frac {1}{a^{m}}}:{\frac {1}{a^{n}}}={\frac {1}{a^{m}}}\times {\frac {a^{n}}{1}}={\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}=a^{-m+n}\,$,

3.^° Elevação a potencias.

$(a^{-m})^{n}=({\frac {1}{a^{m}}})^{n}={\frac {1}{a^{mn}}}=a^{-mn}\,$,

$(a^{-m})^{-n}=({\frac {1}{a^{m}}})^{-n}={\frac {1}{({\frac {1}{a^{m}}})^{n}}}={\frac {1}{\frac {1}{a^{mn}}}}=a^{mn}\,$,

4.^° Extracção oe raízes.

${\sqrt[{n}]{a^{-m}}}={\sqrt[{n}]{\frac {1}{a^{m}}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{a^{m}}}}={\frac {1}{a^{\frac {m}{n}}}}=a^{-{\frac {m}{n}}}\,$,

106. Expoentes fraccionarios. 1.^° Multiplicação.

$a^{\frac {m}{n}}\times a^{p}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}\times a^{p}=(n^{o}96,2^{o})={\sqrt[{n}]{a^{m}\times a^{np}}}\,$

$={\sqrt[{n}]{a^{m+np}}}=a^{\frac {m+np}{n}}=a^{{\frac {m}{n}}+p}\,$ wl p ___

— >• <i' nq/ — ml- "1/----

an xa" — Vam x >' a1' = Vamgx Va**— vam5+«i>

wq+np m p

— a™1 —a" q. 2.° Divisão.

ih .__________________

a •• : a1' = vV1 : a? = \/am : Van*= Vam~'

np

m—np m

= a " —a"'

a"1 :a — au : '(/a = : J/a = f/a1"'-

- »2

a« = a

m p --- ----- -----

a":aJ= Vam : Va — "\fa'""': "Va"'1 — Tá""^

m q—np m p

— a —

3.° Elevação a potencias.

") am J = va™*» —a",

amp

mp

9»/

4.° Extracção de raízes.

exercícios

100. Effectuar as operações

p\aH>\ / »y / lar fc"-1 <\3 viííí/»/ ' V 'AaHMJ' \ Sm^^gV "

101. Effectuar as operações

jM)ab~cb í k^tfpHp 10?. Simplifiear os radicaes

/ífcÕ, /23625aW*, 103. Simplificar os radicaes

V57~Ti . - âl + w6)?/ 3/(a=3 } 3a -10 i/8y -vi y/- -gjj -

•i04. Effectuar as operações 2 8--7 y/18+ 5l/72 —1/50, 2^27 + 3/75 —3/48-

105. Effectuar as operações

3 ' + 2 /54 — 5 /G3 + 3/150 + i /fô + 7 y/24.

106. Efectuar as operações

6a t<63oó3 — 3 \/) ijí »+2afi/343ao- -5&t/2ím>- 10/. Effectuar as operações

^ífswâw' n t/2Õm3 — /SOOm3^ — m v/43mr-. 103. Effectuar as operações

+ 6 /72l + 3 /l 28a*6? -{-' 4 / 2^6®

109. Effectuar as operações

M/wW^' 2J/'28a*;*: 3/l5. ,">, í /a "i\fã*

110. Effectuar as operações

(/« + 2/ + Z+ /a?4 «/ —z)(t/®+ ^ + /« + «/ —z)-

111. Effectuar as operações

' 5 • t/125.1. 36v 3/Í6.f/25(j.

112. Effectuar as operações',.'

abi-t/cSJ, 'pc&jrfyJkc, j^ÉJ®^ 113 Effectuar as operaçõe^

\x fc/«2+62, X fjgMif-

114. Effectuar as operações

/2Í3 vX81 1080 M /to /li.

/®;F1 Ts ' SpÈ' 35'

115. EffeCíuar as operações 116. Effectuar as operações

. &(ã-ffeí iMiã+bf

V \ 8a*b ' V 9fr £%< 6)

117. Effectuar as operações

y/õ? —i/íveV — 1 OÕçí—17 y/õ+6 ' y/ã2-:2ac + ~e*

118. Effefctuar as operações

1/54 vis y(wa /T

'T^ vf i/i-' VV 8-

119. Effectuar as operações

/a v^iJa, ; /z» . 'ffiP

Y*- Vmi' V 27 ' v'"^1

120 Effectuar as operações

( /WV, (Í/VÕ2, (—V8)3, (-1 13>.

121. Effectuar as operações

(yja^zity)*, ( qT/f y/T)2-

122. Effectuar as operações

^IflSfli y'a,?•

■12? Eflectuar as operações

^aWvab2; a^j \/aHil^filP^nW'-

124. Tornar racional o denominador das fracções

B-2/3 8 — 2v/"S 4 + 7( 2 6-f 4/5 4/3 ' 3/5 1 3(' 2 2/3

125. Tornar racional o denominador das fracções

iúm 5 — 7/"? 3 + /2 4 -f y/6 2 —y/2' 1 + / 3 3 — /? 6 — 3'/2

126. Tornar racional o denominador das fracções

i s+3/2—V" 1___

y/2 +/Í3/2-f/ã ' y/2 -+y/3 +|/5 4- /Y