Tratado de Algebra Elementar/Livro 3/Capítulo 1
!s95. le quantos modos se pode pagar a quantia de 8á40C réis, dando moedas de 1$000 réis, e recebendo c excesso em moedas de 480 réis?
296 Achar dois números taes, que a differença entre oito vozes o pri- mero e treze vezes o segundo seja 64
2G7, Achar dois números que. multiplicados respectivamente por 7 e 17, dito Droductos cuja somma é 1Í35. (ISO e 5 ou 133 e 12, etc., nove so- luções).
298. Achar dois números que, multiplicados respectinamente por 7 e 16, dão pioductoe' cuja differença é 12.
299 Um individuo pagava diariamente 246 francos a operários: homens e mulheres; cada homem ganhava 40 francos e cada mulher 6 Quantos erim o: homens e quantas as mulheres? (3 e 36, ou 6 e 31, etc., oito soluções).
3CC. Dividir 316 em duas partes, uma múltipla de U e outra mult-pla de 13 (264 § 52, ou J21 e 1C5:
3C1. Achar duas fracções cujos denominadores são 24[ãl6, e cajá somma . 10 M6 2 13 í , . \
6 24" U 6 16 °U 24 6 16 etC"' SC,S solu«oes)■
302. De quantos modos se pode obter o peso ue 1 kilogramma, com pe- zos de 30 grammas e de 2,5 graminas í (1 e 388, ou '2 e 376, «te., trota e duas soluç.õé.s).
303 Um individuo tem inais de 300 Libras e menos de 400 f sontando-as '•3 a 1J, restam 'J; e contando-as 15 a 15, restam 4- Quantas libras tem o individuo ? (334).
30t. Perguciando-se a um pastor qnantas ovelhas tinha, respondeu: te- nho mais de 100 e menos e 200: quando as conto 7 a 7 restam 2; e se as corto lí a II, ris Iam 3. Quantas ovelhas tinha o pastor? {13S)
3U5. Dividir 111 em tres partes? taes, que a primeira seja d visivel por 2, a segunda per 3 e a ♦ercsira por 7; além disto qne o triplo da pri- meira, o dobro da segunda e o quintuplo da terceira sommem 400. (10, 43, 56). I
3< s[jJJm individuo comprou 30 peças de caça por 3$500 réis: lebres a 200 réis, perdizes a 100 i eis o coelhos a 80 réií Quantas peças de caça comprob de caua especie? y(>, 19 e 5, ou 7, 13 e 10, etc., quafro solnções,.
"O7. tJm indivíduo, mandando compor a sua casa, pagava diariai lente 4$G00 réis a 2C operários, dos quaes uMÉMhi eslucadores, :>utros pedreiros e outros Itorendizes: Aprimeiros pagava 960 réis, aos segundos 360 "éis e aos terceiros 120 réis. Qmntos feraih os estucadores, quantos os pedreiros e quantos os ap-endizes? (2, 3, 16).
308. Dirl individuo pagava diariamente 260 francos a 34 operários : ho- nei.s, mulhere: e rapazes. Cada homem ganhava 10 francos, cada mulher 8 e cada rappz 2. Quintos eram homens, quantas as mulheres e qu«m tos r.-, rapazes? (3, 28, 3; 6, 24, 4, etc., ..file soluções).
339. Achar o menor numero que, dividido por 11, 17, 37 dá os restos 3, 10, 13. (5L08).
310 Um 'is ro tem menos de 500 pag/nas, contando as"7 a 7, restam 4; contanóo-as 9 a í i astam 5; e contanJo-as 11 a 11 resta.a 3. Quantas pagi/iad tem o livro? (410). tttt
LIVRO TERCEIRO
EQUAÇÕES E DESEGUALDADES DO SEGUNDO GRAU. EQUAÇÕES REDUCTIVEIS AO SEGUNDO GRAU
CAPITULO I Equações e problemas do segundo grau a uma incógnita
§ 1.° Resolução cias equações «lo segundo grau a uma incógnita
225. Uma equação do segundo grau a uma incógnita só pode conter tres especies de termos: termos em xl, termos em x e termos conhecidos. Desembaraçando a equação dos denomina- dores, transpondo todos os (ermos para o primeiro membro, re- duzindo e ordenando segundo as potencias decrescentes de x, a equação toma a forma geral
ax4 + bx 4- c = 0.
Nesta equação podemos sempre considerar a positivo: porque, se o não for, mudamos os signaes a todos os termos. As quanti- dades b e c podem ser positivas ou negativas.
A equação do segundo grau diz-se completa, quando contém as tres especies de termos; e no caso contrario diz-se incompleta.
Á equação geral do segundo grau podemos dar uma fórma mais simples. Para isso, dividindo os dois membros por a, vem
x^ H — x -f—— = 0, a a
b c
ou, fazendo — = p, — — q, x* + px -f- q — 0.
226. Resolcção ba equaçlo x'1 + px + q=(). Transpondo q para o segundo membro, temos
as9+px —— q.
Se o primeiro membro d'esta equação fosse o quadrado exacto de um binoinio do pr mei ro grau em x. isto ó, se a equação tivesse a fórma
(íc + A^^B, extrahindo a raiz quadrada, teriamos x + K — ± t/B,
que é uma equação do primevo grau, que sabemos resolver. Re- duzamor pois aquella equação a esta fórma. Para isso, podemos considerara;2 como o quadrado da pr meira parte x do binomic: px como o dobro do producto da pnmei.a parte pela segunda, isto é,
1
px—-2xxy, sendo a segunda parte y = —p;
1
e portanto, para termos o quadrado exacto do bi_ionr< x + --p,
/1 \2 1 2 falta o quadrado da segunda parte, que é í— p) =- p2.
1
Ajunclando pois — \ 2 aos do's membros da equação, resulta
a equação equivalente
1 1 / I 1
xt+px+^pt^-pt-q, ou \ x + ^p =jpZ-q. . . (i),
e ascim temos já a equação reduzida á forma (a:-t-A)2=B. Extrahindo a raiz quadrada á ambos os membros, vem
........m,
d onde J__/ 1 »
V 4P ?
Comparando esta fórmula com a equação proposta, conclue-se a seguinte regra para resolver uma equação do segundo grau, reduzida á fórma x^ 4- px + q =- 0: a incógnita é egual a me- tade do coefficiente do segundo termo, tomado com o siqnal con- n trario, mais ou menos a raiz quadrada do quadrado d'essa metade, sommado com o termo conhecido depois de transposto.
A equação (2) obteve-se, extrahindo a raiz quadrada aos dois membros da equação (1); e como a raiz quadrada tem dois valores eguaes e de signaes contrários, parece que devíamos na equação (2) affectar o primeiro membro do duplo signal ± : não é porém isto necessário. Com effeito, extrahindo a raiz quadrada aos dois membros de uma equação, as combinações que se podem obter com os signaes, não affectando o primeiro membro do du- plo signal, são
x~-\-a, x =— a.
Fazendo preceder o primeiro membro do duplo signal, temos ±a;=±a; e então as combinações, que podemos obter com os signaes, são
x = + a, x — — a, —íc = + a, —X — — «.
Ora, mudando os signaes á terceira, resulta a segunda; e mu- dando os signaes á quarta, resulta a primeira. Logo as quatro combinações reduzem-se sómente ás duas primeiras, que são exactamente as que obtivemos, não fazendo preceder o primeiro
membro do duplo signal. %
23S. Exemplos: 1.° Resolver a equação x^—7x+ 12 = 0.
Esta equação já está reduzida á fórma x* + px + q — 0 ; e por isso, applicando a regra, vem
x
2 V 4 2 V 4 2 2'
e separando as duas raizes, temos
7 1 7 1
2.° Resolver a equação
3x*+ 18 = 2»— 10. Transpondo os lermos para o primeiro membro e reduzindo, vem 3a,2 — 2a; + 28 = 0, 2 2S
e dividindo por 3, temos i— -^-f—= 0.
o J
Applicando a regra, vem
rvi, 3 3~Vy 9 3 ' V 9" 3.° Resolver a equação
kx—9
x-— 2-=—•••• . , N
x
Jleduzindo a equação á fórma x- + 'px f q — è, vem
xí — 2x = <Zx — 9, x2—6x + D==0. Applicando a regra, lemos a: = 3 ,/9 — y=»*3 ±0, donde ^ = 3 + 0 = 3, x" = 3 — 0 = 3. 4.° Resolver a equação
5 « 1 3 „ 2 _ , 273
Reduz;ndo a equação à fórma geral, vem
1G»2 — 6x + 9 = 9G — 8x — 12®» + 273,
2 360
22x* + 2x —360 = 0, fi =0.
22 22
Applicando a regra, temos
7C2Õ
1 / 1 , 360_ I 1 " 7C20
.2 ± V 22* 22~ 22 ~ V f ^
1 //921_ 1 89
d'onde
1_ L '/__
22~~' 3 jT' 22~Li-~22' 238. Resolução da equação ax1* + bx + c <= 0. Trans- pondo c para o segundo membro, temos
axi + bx = — c...............(1).
Se o primeiro membro d'esta equação fosse o quadrado exacto de um binomio do primeiro grau em x, isto é, se a equação ti- vesse a fórma
(as+ A)2=B, extrahindo a raiz quadrada, teríamos x + A =
que"& uma equação do primeiro grau, que sabemos resolver.
Reduzamos jpois aquella equação a esta fórma. Para isso, po- demos considerar axâ como o quadrado da primeira parte do binomio, sendo x\/a a primeira parte; podemos considerar te como o dobro do producto da primeira parte pela segunda, isto é,
bx = 2xVaxy, sendo a segunda parte y — ^ ;
/- 6
e portanto, para termos o quadrado exacto do binomio x\
( b \s 6*
falta o quadrado da segunda parte, que é í—-r=\ == .
. b^ " Ajunctando pois — aos dois membros da equação, resulta
b* / ,/-, h \2 — 4ac
axi + bx + —=,--c, ou waf—7=) =—--,
4a 4a \ 2^0/ 4a
e assim temos já a equação reduzida á fórma (íc + A)2 = B. Extrahindo a raiz quadrada, vem
b 4ac
xVa -I- —7== — —-—'
2 \/a 2 {/a
ou, mulliplicando por
2 [/a,
. a -t?-- , — b ± t/fcs — 4ac
2ax 4-b — ± vb2 — 4 ac, donde a?=----
2a Comparando esta fórmula corn a equação proposta, conclue-se a seguinte regra para resolver urna equaçào do segundo grau, reduzida à fórma ax2 + bx + c = 0 : a incógnita é egual ao coef- ficiente do segundo termo, tomado com signal contrario, mais ou menos a raiz quadrada do quadrado d'esse coefficiente, menos o quádruplo do coefficiente do primeiro termo multiplicado pelo lermo conhecido; tudo dividido pelo dobro do coefficiente do primeiro termo.
Advertencia. Esta regra pode simplificar-se quando o coeffi- ciente b for par. Porque seja b — Ih: substituindo este valor na fórmula, vem
__ — 2k± V'4/f2 — hac — 2/c ± \!— ac) 2a 2a
— 2/,- ± — ac —k ± [/k* — ac
2a a
Logo: Quando o coefficiente do segundo termo for par, a incó- gnita é igual a metade do coefficiente do segundo termo tomado com signal contrario, mais ou menos a raiz quadrada do quadrado d'essa metade, menos o producto do coefficiente do primeiro termo pelo termo conhecido, tudo dividido pelo coefficiente do primeiro termo.
999, Exemplos: 1.° Resolver a equação 3a? + 5a; — 68=0.
Esta equação jâ tem a fórma ax^ + bx + c — 0; e por isso applicando a regra, vem
— 6 ± 1/26 + 4x3x68 -5 ± v/841 —5 ±29 -6--=-6-=-6 '
, —5 + 29 -5-29 34
d onde x =---= 4, x" =---=--—.
6 6 6
2.° Resolver a equação
3 2 5 2-L K 53
— a;2 + —5a;--—.
4 3 8 6 Reduzindo a equação á fórma ax* + bx + c = 0, vem 18»2 + 16 = 15»2 + 120» —212, 3r2 — 120» + 228 = 0. Applicando a regra, vem
60 ± v/3600 — 684 60 ± ^2916 60 ± 54
x —-
3 3 3
, , 60 + 54 114 „ 60 — 54
donde x? —---=—=38, st>" =--—- = 2,
o o o
Em lodos os exemplos antecedentes achámos duas raizes para a equação do segundo grau. Vamos agora demonstrar que: Uma equação do segundo grau a uma incógnita não admitte mais de duas raizes.
Supponhamos que a equação geral
a»2 + bx + c = 0
admitte tres raizes differentes: íc = a, x — [í, x=y. Substi- tuindo cada um d'estes valores na equação, temos
a*2 + 6a + c = 0, a|32 + 6|3 -f c === 0, oy2 + 6y + c = 0. . .(1).
Sendo a, (3, y tres raizes differentes, podemos suppor que é a>(3, e a > y; e subtrahindo então a segunda egualdade da pri- meira e do mesmo modo a terceira, resulta
fl(«í _ + _ p) = o, a(a2 — y2) + b(a — y) = 0,
ou
a(«+p) (a—P) +6(a— (3) = 0, a(a + y) (a — y) + 6(a — y) = 0.
Dividindo a primeira d'estas egualdades por a — (3, e a se- gunda por a—y, o que é permillido, visto que a — [i e a—>y não são nullos, vem
a(a + (3) + 6 = 0, a(a + y) + 6 = 0........(2),
e subtrahindo a segunda da primeira, a((3 — y) = 0.
Ora, o factor [i—-y não é nullo, logo ha de ser a = 0. Em seguida, qualquer das egualdades (2) dá 6 = 0, e qualquer das egualdades (1) dá c—O. Portanto a equação proposta, converte-se em
().íc2+ 0 .x + 0 = 0,
que é uma identidade e não uma equação; e o mesmo tem logar para mais de tres raizes.
§ 2.° Discussão dLas raizes «Ia equação x*+px + q = 0
331. Temos a equação geral
x2 +px + q — 0,
que, resolvida, dá
1 / 1
—jp^VTP*-'
2
Vamos discutir esta fórmula, considerando as differentes liypo- theses que se podem fazer sobre os signaes e valores de p e q.
1 1
i.° Caso. — p2 — q> 0, ou pí> q- Neste caso, a quanti-
4-
da de que estô debaixo do radical é positiva; e como a raiz qua- drada de uma quantidade positiva tem dois valores reaes e eguaes, um positivo e outro negativo, segue-se que os dois valores de x são reaes mas deseguaes, pois que um é a somma e o outro a
i [T
differença das quantidades--—p ey P2 — <7
1
Além d'isto, sendo ~p2></, pode ser q positivo ou negativo. l.° q < 0. Neste caso a equação tem a fórma
1 / 1
x2 + px — 9 = 0, d'onde x =--—p =fc V/ -yp^ + q-
/l 1 /\ 1
Ora, sendo y — P2—^P> serâ y P2 + A^P: é
o radical que determina o signal do resultado; e como elle é precedido do duplo signal ±, segue-se que os dois valores de x têm signaes contrários. Portanto 1
Quando é — ps — q > O e o termo conhecido ê negativo, as duas 4
raizes são reaes, deseguaes e de signaes contrários.
2.° q > 0. Neste caso, a fórmula geral, que dá os valores de x,
f\ . 1
subsiste sem modificação nenhuma. Oro, sendo \/ ~yP — ~WP> / 1 1
será w — q< p. |0g0 (, a quantidade, que está fóra do
• 4 Z
radical, que determina o signal do resultado; e como esta quan- tidade tem sómente um signal contrario ao do coefficiente do segundo termo, segue-se que os dois valores de x têm o mesmo signal contrario ao d'aquelle coefliciente. Portanto 1
Quando é — p*2 — q > 0 e o termo conhecido é positivo, as duas
raizes são reaes, deseguaes e do mesmo signal, contrario ao do coefficiente do segundo termo.
1 1
2.° Caso. —-pV — q= 0, ou — p'2 = ç, e por consequência q
positivo. Sendo nulla a quantidade que está debaixo do radical, a fórmula geral torna-se em
1
x = — ~p± 0,
1111
donde = + 0 = p, x"=-—p-0 = - — p.
1
Logo: Quando é p*2 — q = 0, as duas raizes são reaes, eguaes
e do mesmo signal contrario ao do coefficiente do segundo termo.
Este mesmo resultado se deduz da equação. Porque, substi- tuindo nella q pelo seu valor vem
1 / 1 \2 + px 4- — -p* — 0, ou + f )
ou, extrahindo a raiz quadrada
1 1
x + -prp = ± 0, donde x =--—p ±0.
a 2 Advertiremos que, no caso considerado, o primeiro membro da equação é um quadrado perfeilo.
1 1
3.° Caso. —p* — 7<0, ou p^<q, e por consequência q
positivo. Neste caso a quant-dade que está debaixo do rad cal é negativa, e como a ra'z quadrada de" uma quantidade negativa tem dois valores eguaes e de signaes"contraídos, e ambos imagi- nai ios, segue-se que os dois valores de x são imaginários
Logo: Quando é,— pa—q<0, as duas raizes são imaginarias.
Reconhece-se facilmente que estas raizes imagincrias satisfazem á equação. Com effeito, sendo
1 P 1
p"1— g< 0, será — ,m — q — —-m:
4 r * ' 4
em cr, —
2
I
e então a fórmula geral torna-se em x==— jn&^M—m•
Substit1 indo este valor de x na equação, vem
— p ± »/ —m +[ ' — ' p± «/—mj |jj q = 0, \ _j __
ou — p2 ± f \f—m— m---± p\/—m + q = 0,
4* 2i
1 1 1
011 — ^— - ps +y = 0, ou 0 = 0,
que é uma identidade
\lém d'isto, a equação é neste caso impossivel para valores reaes de x. Com effeito, sendo
~ v2<?, será g = +
e substituindo este valor na equação, temos
1 / 1 \2 x '- px + — p* + a = 0, ou x + — p + a = 0. Ora, para qualquer valor real de x, a potencia (x + — p
é uma quantidade positiva. Além d'isto, a é também uma quan-
1
tidade positiva, que representa o excesso de q sobre—p2; e assim
temos a somma de duas quantidades positivas egual a zero, o que é impossível. I
Advertencia. Quando for —p2—</<(), a fórmula geral das raizes
-j _ j _ ____
x = —~~p ± \J—m— — — p ±\/m\f—1 = A±B \J — 1, >— z
tal é a fórma geral dos imaginarios a que conduz a resolução das equações do segundo grau.
Uma equação do segundo grau não pode ter uma raiz real e outra imaginaria; porque a condição de serem reaes ou imagi- narias as raize^ da equação depende do radical, e este faz parte das duas raizes.
4-.° Caso. p = 0. Neste caso, a fórmula geral torna-se em
X= ± \f—q,
raizes eguaes, de signaes contrários e ambas imaginarias. Porém, se o termo conhecido for negativo, a fórmula dá
x= ±\/ q,
raizes eguaes, de signaes contrários e ambas reaes.
Isto mesmo se deduz da equação, fazendo nella p = 0. Logo: Quando falta o segundo termo, as duas raizes são eguaes, de signaes contrários, e ambas reaes ou imaginarias, segundo o termo conhecido for negativo ou positivo.
5.° Caso. q — 0. Neste caso, a fórmula geral dá
1 1
x = — -—p±—-p, d'onde x'= 0, x" = —p. 2 2
Este mesmo resultado se deduz da equação. Com effeito, fa- zendo nella q — 0, vem
x1 + px = 0, ou x(x +p) — 0; e como, para um producto ser nullo, é necessário que pelo menos um dos factores o seja, segue-se que esta equação fica satisfeita, pondo
x — O, ou x+p = 0, d*onde x ——p.
Logo: Quando falia o terceiro termo, uma raiz é nulla, e a outra ê egual ao coefficiente do segundo termo, tomado com o si- gnal trocado.
6.° Caso. p — 0, ç = 0. Neste caso, a fórmula dá « = ±0; e isto mesmo se deduz da equação. Porque, fazendo p — 0, 9 = 0, a equação reduz-se a
x* = 0, (Temde x= ± 0.
Logo: Quando falta o segundo e o terceiro termo, as duas raizes são nullas.
§ 3.° Discussão da,s raizes da equação ax% + bx + c — 0
8 "88. Temos a equação geral
ax2 + bx + c — 0,
±t/&2—íac
que, resolvida, dá x-
2a
Vamos discutir esta fórmula, considerando os differentes casos que podem apresentar-se.
1.° Caso. 62— 4-ac>0, ou í)2>4ac. Neste caso, a quanti- dade que está debaixo do radical é positiva ; e como a raiz qua- drada de uma quantidade positiva tem dois valores reaes e eguaes, um positivo e outro negativo, segue-se que os dois valores de x são reaes mas deseguaes, porque um tem por numerador a somma e o outro a differença das quantidades — b e b2 — 4ac.
Além d'isto, sendo fc2>4ac, pode ser c positivo ou negativo, 1.° c<0. Neste caso a equação tem a fórma
ax^ Vbx — c = 0, d'onde x—-—f.
2 a Ora, sendo \/b^ = b, será V^62 + 4ac> 6: logo é o radical que determina o signal do resultado; e como elle é precedido do duplo signal ±. os dois valores de x tem signaes contrários. Logo: Quando o termo conhecido é negativo, as raizes da equação são reaes, deseguaes e de signaes contrários.
2.° c>0. Neste caso a fórmula, que dá os valores de x, não soffre modificação nenhuma; e sendo vb^—b, será hac<b: logo é a quantidade que está fórn do radical, que determina o signal do resultado; e como esta quantidade tem sómente um signal contrario ao do coefficiente do segundo termo, os valores de» têm o mesmo signal contrario ao d aquelle coefficiente. Portanto: Quando o termo conhecido é positivo e é b2— 4ac>0, ou k2 — ac>0 se b for par, as duas raizes são reaes, deseguaes e do mesmo signal, contrario ao do coe/jicienle do segundo termo.
2.° Caso. —4ac = 0, ou 62 = 4ac, c por consequência c positivo. Sendo nulla a quantidade que está debaixo do radical, a fórmula dá
-6± 0 „ , , -6 + 0 6 „ —6—0 6 x= —--, d onde x'——--=-----, x'--
2 a 2a ■ 2 a 2 a 2a
Logo: Quando é b2— 4ac ==■ 0, ou k2 — ac = 0, se b for par, as duas raizes são reaes, eguaes e do mesmo signal contrario ao do coefficiente do segundo termo.
3.° Caso. 62 — 4ac<0, ou 62<4ac, e por consequência c positivo. Neste caso a quantidade que está debaixo do radical é negativa ; e como a raiz quadrada de uma quantidade negativa tem dois valores eguaes e de signaes contrários, e ambos imagi- narios, segue sc que os dois valores de x são imaginarios.
Logo: Quando é b2 — 4ac<0, ou k2— ac<0 se b for par, as duas raizes são imaginarias.
Reconhece-se facilmente que estas raizes imaginarias satis- fazem á equação. Com efíeito, sendo
62 — 4ac < 0, será 62 — 4ac = — m:
— 6 ±V—m
e então a lórmula gerai torna-se em x=---.
Aa Substituindo este valor de x na equação, vera
/— b ± y/—mV —b± V — m
|| - -2a ) +i' íijr +e = °' fc2 =p 26 M HI — m
ou a. -----+----4 c =0,
4 2 a
ou 62q;2fcV/-m+6í-4ac-26,±26V/"-ín + 4ac=0, ou 0=0,
que é uraa identidade.
Além d'isto, a equação é nesle caso imposrvel para valores reaes de x. Porque de
b* b"1 l2—^iac< 0 tira-se c >,'^i;: loco será c= — + <x; - 4a 4a
e subst.tuindo este valor na equação, temos
li / _ b ax2-r + — + a = 0, ou ( Wa + —7= + « = 0. 4a \ 2/a/
/ /- \2 Ora, para qualquer vaior real de rr, a potencia rr V a -f J
é uma quantidade posiiiva. Além d isto, a è também uma quan-
1,2
tidade positi- a, que representa o excesso de c sobre —; e assim
4 a
temos a somma de duas quantidades pos.tivas egual a zero, o que é impossivel.
AnvEic ErciA. Quando for oi — íac < 0, a fórmula geral das reizes é
M b ± ^-J = _ 4- i/ZTf^ A 4 B</=T
2a ■ • 2a 6 'ía v ~t r >
tal-é a fórma geral dos «maginarios, a que conduz a resolução das equações do segundo grau.
Uma equação do segundo grau não pode ter uma raiz real e outra imagi íaria ; porque a condição de serem reaes ou imagi- narias as reizes da equação depende do radical, e este faz parte das duas raizes. 4.° Caso. 6 — 0. Neste caso, a fórmula geral dá
zt V7— 4ac 2a
V a
raizes eguaes, de signaes contrários e ambas imaginarias. Porém, se o termo conhecido for negativo, a fórmula dá
v a
a
raizes eguaes, de signaes contrários e ambas reaes.
Isto mesmo se deduz da equação, fazendo nella 6=0. Logo: Quando falta o segundo termo, as duas raizes são eguaes, de signaes contrários, e ambas reaes ou imaginarias segundo o termo conhecido for negativo ou positivo.
5.° Caso. c = 0. Neste caso, a fórmula dá
x = —---d'onde a/ = 0, x" = — —.
2a a
Este mesmo resultado se deduz da equação. Com efíeito, fa- zendo nella c = 0, vem
are2 4 bx = 0, ou xj[ax + b) — 0 ;
e como, para um producto ser nullo, é necessário que pelo menos um dos factores o seja, segue-se que esta equação fica satisfeita pondo
x = 0, ou ax + b — 0, d'onde x—--
a
Logo: Quando falta o terceiro termo, uma raiz é nulla, e a outra é egual ao coefficiente do segundo termo, tomado com signal trocado e dividido pelo coefficiente do primeiro termo.
6.° Caso. c = 0, 6 = 0. Neste caso, a fórmula dá x= ± 0; e isto mesmo se deduz da equação. Porque, fazendo 6 = 0, c=0, a equação reduz-se a
axt = 0, d'onde x= ± 0.
Logo: Quando falta o segundo e o terceiro termo as duas raizes são nullas. Advertencia. Vimos que a equação do segundo grau tem uma raiz nulla, quando é c = 0; e tem duas raizes nullas, quando é c = 0, b — O. Esta propriedade pertence a todas as equações algébricas, e enuncia-se do modo seguinte: Quando, numa equa- ção algébrica, os últimos lermos desapparecem successivamente epor ordem, a cada termo desapparecido corresponde uma raiz nulla.
7.° Caso. a — O. Então, a fórmula geral torna-se em
-b±b * , -b + b 0 „ —b-b -2b X = dondea/—_-oo,
Portanto, quando é a — O, uma das raizes é infinita, e a outra apresenta-se indeterminada: vamos, porém, demonstrar que esta indeterminação é só apparente. Com eífeito, a raiz, que se apre- senta debaixo da fórma de indeterminação, é
. — b + \/b* — 4 ac
X==-2a-*
Multiplicando os seus dois termos por—b—Vfc8—ílac, vem
(-6 + Vb*-bac){ -b- VW^i ac) _ — 62 + 4 ac
2a( — b — VW —4Õc) ~~ 2a(-b- VW-lac)
2c -
x'
_ b —4ac' e introduzindo a hypothese de ser a — O, resulta ,_ 2,c _
donde se vê que a raiz, que apresentava a fórma de indetermi- nação, tem um valor finito; e por consequência, quando for a=0,
uma das raizes ê infinita, e a outra é egual a--—.
8.° Caso. a = 0, 6 = 0. Neste caso os dois valores de x apre-
sentam-se debaixo da fórma —: reconhece-se porém facilmente, como 110 caso antecedente, que estas indeterminações são appa- rentes, e que os valores de x são ambos infinitos.
Advertencia. Como a fórmula geral das raizes foi deduzida suppondo a diflerente de zero, temos de demonstrar que os re- sultados, deduzidos da fórmula nos dois casos antecedentes, con- cordam com os resultados deduzidos directamente da equação.
Para isso, dividindo os dois membros da equação por a;2, o que é permittido, pois que, sendo c diflerente. de zero, nenhuma das raizes 6 nulla, vem
6 c 1 / c\ (H---f — = 0, ou a + —í 6 H--J = 0.
X X X \ OC J
Para a = 0, esta equação reduz-se --
e como, para um producto ser nullo, é necessário que pelo menos um dos factores o seja, segue-se que esta equação fica satisfeita, pondo
1
— = 0, d'onde x = cc , '
x
c c ou 6-1--= 0, ou 6» 4- c = 0, d'onde x =--
x b
Se fòr a = 0, 6 = 0, a equação reduz-se a
±.-!--0>
X X
1 , • c
logo — = 0, d'onde x = <x>; — = 0, d'onde x — ao ,
X X
resultados em harmonia com os deduzidos da fórmula geral.
Vimos que a equação do segundo grau tem uma raiz infinita, quando 6 a — 0; e tem duas raizes infinitas, quando è a — 0, 6 = 0. Esta propriedade pertence a todas as equações algébri- cas, e enuncia-se do modo seguinte: Quando, numa equação al- gébrica, os primeiros termos desapparecem successivamente e por ordem, a cada termo desapparecido corresponde uma raiz infinita.
9.° Caso. a===0, 6 = 0, c=0. Então a fórmula dà « = - ; e neste caso x é realmente indeterminado, pois que na hypothese considerada, a equação reduz-se á identidade O®2 + Oa; + 0 = 0.
| 4.° Propriedades cias equações do segundo grau
833. Se a for raiz de uma equação do segundo grau, o seu primeiro membro é divisível por x— a. Reciprocamente, se o pri- meiro membro da equação for divisível por x — a, a é raiz da equação. Temos a equação geral
ax2 bx + c = 0.
Designando por R o resto da divisão de ax% + bx + c por x — a, ternos (n.° 56)
R = aa2 + 6a + c.
Posto isto, seja a raiz da equação: substituindo x por «, a equação ficará satisfeita; e teremos
a*2+ ba + c — 0,
isto é, o resto nullo. Logo, sendo a raiz da equação, o seu pri- meiro membro é divisível por x — a.
Seja em segundo logar o primeiro membro da equação divi- sível por x — a; teremos
R '= + Èa + c = 0,
o que mostra que a equação fica satisfeita, substituindo a; por a: logo a é raiz da equação.
834. Relações entre as raízes t»e uma equação.po
segundo grau e os seus coefficientes. 1 ."A SOmma cias raizes de uma equação do segundo grau, reduzida á fórma ax2 + bx-f c = 0, ê egual ao coefficiente do segundo termo tomado com signal' contrario e dividido pelo coefficiente do primeiro termo; 2." O producto das raizes é egual ao lermo conhecido dividido pelo coefficiente do primeiro termo. Com effeito, temos a fórmula
— b± t/&2 — 4ac donde, separando as raizes,
— b+ v/^ — ioc — b — Uc
x'=-*-;--, --—---.
2 a 2 a
Sommando estas duas egualdades, vem
x> + afl==~^b== b
2 a a'
Multiplicando as mesmas egualdades, temos
( (/ _ (- -H s/lP-^hac) (-b- 'Jb* 4ac) __ b^ -fcH hac _ c
X><X = ~ «T"
Advertencia. Se for a—l, isto é, se a equação tiver a fórma x2 + px + q = 0, conelue-se que:
A somma das raizes de uma equação do segundo grau, reduzida á fórma x2 + px + q = 0, è egual ao coefficiente do segundo termo tomado com signal contrario; e o producto das raizes é egual ao termo conhecido.
O primeiro membro de uma equação do segundo grau, reduzida á fórma ax2 + bx + c = 0, é egual ao coefficiente do primeiro termo multiplicado pelo producto de dois factores bino- mios do primeiro grau em x, que se formam subtrahindo de x cada uma das raizes. Sejam a e £ as raizes da equação
b c,
será « + |3= ——, = —; d'onde b = ~aa — a$, c—aa.$. a a
Substituindo estes valores na equação, vem a»2 + bx + c=aa2—a«x—afix + aa{J =* ax (x—a) — a$ (x—a) = (» — «) (ax — ap) = a [x — a) (x — (3).
Advertencia. Se for a = 1, isto é, se a equação tiver a fórma x2, + px + q — 0, conclue-se que:
O primeiro membro de uma equação do segundo grau, reduzida á fórma x2 + px + q = 0, é egual ao producto de dois factores binomios do primeiro grau em x, que se formam subtrahindo de x cada uma das raizes.
Por meio d'estes princípios resolvem-se facilmente os seguintes problemas:
1Dada a somma e o producto de duas quantidades, deter- minar cada uma, d'ellas.
As duas quantidades pedidas são as raizes de uma equação do segundo grau, em que o coefficiente do primeiro termo é a uni- dade, o coelficienle do segundo é a somma dada tomada com signal contrario, e o termo conhecido 6 o producto dado.
Exemplo: Achar dois números cuja somma seja 20 e o pro- ducto 96. Temos a equação
x* — 20a; + 96 = 0; ,
donde x = 10 ± yf\00 — 96 == 10 ±2,
e por consequência ai — 12, x'1 = 8.
2.° Dadas as raizes de uma equação do segundo grau, formar a equação a que ellas pertencem.
Sommain-se as raizes e forma-se o seu producto: aquella somma, tomada com signal contrario, é o coefficiente do segundo lermo; o producto é o termo conhecido, e além d'isto o coeffi- ciente do primeiro termo é a unidade.
Podemos também formar a equação, egualando a zero o pro- ducto dos factores binomios que se obtêm, subtrahindo de x cada uma das raizes. Exemplo: Formar a equação cujas raizes são
oi = 4, x" = — 7.
Temos x'+ x= 4 -—7 — — 3, x'x" —— 28. Logo a equa- ção pedida é
3a —28 = 0.
Pelo segundo processo, temos
(* — 4)(íc + 7) = 0, ou ^ +3a —28 = 0.
3.° Determinar a condição necessário para que as raizes de
uma equação do segundo grau sejam eguaes c de signaes contrários.
- "
L Supponhamos a equação
x1 + px + q = 0:
sejam x' e x1' as raizes d'esta equação, e supponhamos que estas raizes são eguaes e de signaes contrários: será
a;' + x" = 0;
e como íi somma das raizes é egual ao coefficiente do segundo termo tomado com signal contrario, será p = 0. Logo: para serem eguats e de signaes contrários as raizes de uma equação do segundo grau é necessário que o coefficiente do segundo termo seja nullo.
4.° Discutir a priori uma equação do segundo grau é dizer, sem a resolver, se as raizes são reaes ou imaginarias, e se forem reaes dizer se são eguaes ou deseguaes: no caso de serem eguaes, dar o seu valor commum; e, no caso contrario, dizer se são com- mensuraveis ou incommensuraveis, e se têm o mesmo ou diffe- rente signal; quando têm o mesmo signal, dar o signal commum; e, no caso contrario, dizer o signal da maior raiz em valor absoluto. Exemplos : 1Discutir a equação
x2 — 7»+12 = 0.
1 /7\2 49 1
Temos -p2-9 = ( -) -12 = - - 12 = ^0:
logo as raizes são reaes e deseguaes; e como-rp2 — q é um
4
quadrado perfeito, as raizes são commensuraveis. Além d'isto, sendo q positivo, as raizes têm o mesmo signal; e como p é ne- gativo, as raizes são positivas.
2.° Discutir a equação
3«2+5« + 7 = 0.
Temos —4ac = 52 —4.3.7 = 25 — 84 = —59<0: logo as raizes são imaginarias.
3.° Discutir a equação
5«2+ 14» —3 = 0.
Temos /í2 — ac = 7* + 5.3 = 49 + 15 = 64> 0; logo as raizes são reaes, deseguaes e commensuraveis, por ser k2 - a c um quadrado perfeito. Além d'isto, sendo c negativo, as raizes têm signaes contrarios; e como b é positivo, a maior raiz em valor absoluto é a raiz negativa.
=== 5.° Propriedades do trinomio do segundo grau ===
237. Chama-se trinomio do segundo grau todo o trinomio inteiro em relação a x e do segundo grau em x. A sua fórma geral é
- ax2 + bx + c,
sendo a, b e c quantidades conhecidas, e x uma quantidade variavel, que pode receber todos os valores possiveis.
Quando o coefficiente do primeiro termo é a unidade, o trinomio tem a fórma x2 + p x + q.
Raizes do trinomio do segundo grau são as raizes da equação, que se obtém, egualando o trinomio a zero.
238. Decomposição do trinomio em factores.
1.° Supponhamos o trinomio x2 + px + q. Designando por x' e x" as suas raizes, isto é, as raizes da equação
- x2 + p x + q = 0,
temos (n.° 235, advt.)
- x2 + p x + q = (x — x')(x — x").
Logo: Todo o trinomio do segundo grau, que tem a fórma x2 + px + q, é egual ao producto de dois factores binomios do primeiro grau em 'x, que se formam subtrahindo de x cada uma das raizes.
2.° Supponhamos o trinomio a x2 + b x + c. Designando por x' e x" as suas raizes, isto é, as raizes da equação
- a x2 + b x + c = 0,
temos (n.° 235) a x2 + b x + c = a (x — x')(x — x").
Logo: Todo o trinomio do segundo grau, que tem a fórma a x2 + b x + c, é egual ao coefficiente do primeiro termo multiplicado pelo producto de dois factores binomios do primeiro grau em x, que se formam subtrahindo de x cada uma das raizes.
Exemplo: Decompor o trinomio 4a;2— 8a;— 21 em factores. Egualando o trinomio a zero, para achar as suas raizes, temos
4a;2 — 8a; — 21 = 0; '
„ < 4 ± ^76 + 84 4 ±10
donde x — --:-=-—-—,
4 4
ou, separando as raizes,
', 4 + 10 14 7 _ 3
X ' 4 4 2'
Logo 4a;2—8a; —21 = 4^ —+
839. Uma expressão algébrica diz se funcção continua de uma variavel x, quando, dando a x valores que differem entre si tão pouco quanto quizermos, os valores correspondentes da ex- pressão differem também entre si tão pouco quanto quizermos.
O trinomio do segundo grau ax2+ bx + c é uma funcção con- tinua de x.
Com eíFeito, sejam x — a. e x — a + h dois valores de x que diíferem entre si tão pouco quanto quizermos, tomando h sulfi- cientemente pequeno: os valores correspondentes do trinomio são
a*2 + ba. + c, a (a + h)* + b(a + li) + c; e a differença d'estes valores é
aa2 + 2ah + ah" + b* + bh + c- aa2 — ba — c=- h(2aa + b + ah}.
quautidade que pode tornar-se menor que qualquer grandeza, visto que h tende para zero.
S4LO. Se dois números, subsliluidos por x no trinomio ax2 4- bx + c, derem resultados, de signaes contrários, a equação ax2 + bx + c. = 0 tem uma raiz comprehendida entre esses dois nurneros.
Sejam « e Ç> os dois números que, substiluidos por x, dão resultados de signaes contrários, e seja a < (3. Imaginando que x varia por graus insensíveis desde a até o trinomio variará de uma maneira continua; e por isso, na passagem do valor positivo para o valor negativo, ha de necessariamente o trinomio annular-se para um certo valor de x, comprehendido entre a e (3. Este valor de x é pois raiz da equação ax2 bx + c = 0.
241. Se as raizes do trinomio do segundo grau forem reaes e deseguaes, o valor do trinomio tem o signal do coefficiente do primeiro termo para qualquer valor de x não comprehendido entre as duas raizes; e tem signal contrario para valores de x compre- hendidos entre as raizes. Sejam x' e x'1 as raizes do trinomio a»2 + bx + c, e seja x' > x": teremos
ax2 + bx + c = a(x—x') (x —■ x'r).
Posto isto, seja a um numero não comprehendido entre as duas raizes, isto é, maior ou menor do que cada uma d'el!as: substituindo x por a, os dois factores x — x' e x — x" ficam com o mesmo signal: logo o producto (x—x')(x—x") é posi- tivo, e por consequência o seu producto por a, isto é, o trinomio proposto terá o signal de a.
Seja, em segundo logar, p um numero comprehendido entre as duas raizes, isto é, x'>?> >x!': substituindo x por |S, o factor x — x' fica negativo e o factor x — xf' fica positivo: logo o pro- ducto (x — x')(x — x") é negativo, e por consequência o seu producto por a, isto é, o trinomio proposto terá signal contrario ao de a.
«813. Se as raizes do trinomio forem reaes e eguaes, o valor do trinomio tem sempre o signal do coefficiente do primeiro termo para qualquer valor de x, áifferente das suas raizes. Sejam x' e x" as raizes eguaes do trinomio: teremos
ax2 + bx -f c = a(x —x) (x — x') = a(x — íc')2;
.,m. e como a potencia do grau par de uma quantidade real é sempre positiva, segue-se que o factor (x — x')s ê positivo para qualquer valor real de x: logo o seu producto por a, isto è, o trinomio proposto terá sempre o signal de a. Exceptua-se o caso de sub- stituir por x o valor af, porque então o trinomio reduz-se a zero. Se as raizes do trinomio forem imaginarias, o valor do trinomio tem sempre o signal do coefficiente do primeiro lermo para lodo e qualquer valor de x. Sejam
af =« + f> V—í x'! = a — (3 V —1 as raizes do trinomio ax2 4 bx 4 c: teremos
__4
aHbx+c=a(x—oc — $ v/-l)(«—a + 3 v/-l) = (n.° 42, 5.°) = a[(x — a)2 — B2. —1] = a\_(x — «)2 + £2].
Ora, o segundo factor, sendo a somma de dois quadrados, é sempre positivo para qualquer valor real de x: logo o seu pro- ducto por a, isto é, o trinomio proposto tem sempre o signal de a.
| 6.° Desegualdades do segundo grau a uma incógnita
244. Desegualdade do segundo grau a uma incógnita é aquella em que o maior expoente da incógnita ê 2.
A desegualdade mais geral do segundo grau a uma incógnita é
ax2 4- bx + c > 0 ou ax2 4 bx 4 c < 0.
Resolver uma desegualdade do segundo grau ê achar os limites dos valores de x, que satisfazem á desegualdade, isto é, que tornam o seu primeiro membro positivo ou negativo, segundo a desegual- dade tiver a fórma ax2 4 bx 4 c > 0, ou ax2 4 bx 4 c < 0.
245. Para resolver uma desegualdade do segundo grau, de- terminam-se primeiramente as raizes do trinomio que fórma o primeiro membro da desegualdade; e depois, as propriedades do trinomio fazem conhecer os valores, que se devem dar a x, para que o trinomio lenha o signal de a ou ó signal contrario, e por consequência para que o trinomio seja positivo ou negativo.
246. Exemplos. 1." Resolver a desegualdade
3x* — 10íc + 3>0. Egualando o trinomio a zero, para achar as suas raizes, temos 3a;2 — 10a; 4 3 — 0: *
„ , 5 ± v/25 — 9 5 ± v/16 5=t4 donde » =----=-3—= 3 '
1
e por consequência x1 — 3, x?'=;-,
o
raizes reaes e deseguaes. Mas, quando as raizes do trinomio são reaes e deseguaes, para o valor do trinomio ter o signal do pri- meiro termo, é necessário dar a x valores não compreliendidos entre as duas raizes; e por consequência os valores de x, que satisfazem á desegualdade, são os números maiores que 3 e os 1
números menores que—.
o
2.° Resolver a desegualdade
— 3x2 + 7»4 66 >0. Egualando o trinomio a zero, temos
— 3x2 + 7íc+ 66 = 0, ou 3»2 —7» —66 = 0:
„ , 7 ± V/49 + 792 7±v/8il
d onde x = —-= —-=
6 6
e por consequência
, 36 fi /, 22 O2
.'=- = 6,* =--=-3 3,
raizes reaes e deseguaes. Mas, quando as raizes do trinomio são reaes e deseguaes, para o valor do trinomio ter signal contrario ao do primeiro termo, é necessário dar a x valores comprehen- didos entre as duas raizes; e por consequência os valores de », que satisfazem â desegualdade, são os números comprehendidos 2
entre 6 e — 3 —.
o
3.° Resolver a desegualdade
4»* + 20» + 25 > 0.
Egualando o trinomio a zero, temos
4»2 + 20» + 25 = 0: RggMMUINMQMi
234 algebra elementar
„ , —10 ± t/í 00-^100 —10 ± o
donde x ———-.-<-=--
4 4
e por consequência
,__ —10 + 0_ _B „__ — 10 — 0__5
4 '""2' X 4 ~2'
raizes reaes e eguaes. Logo (n.° 242), qualquer valor de x, dif-
5
ferente de — —, satisfaz è desegualdade.
4.° Resolver a desegualdade
2a2 —6a: + 12<0. Egualando o trinomio a zero, temos
2a;2 — 6®+12 = 0:
„ . 3 ± l/9 — 24 3 ± V— 1B
donde x —-=---,
2 2
raizes imaginarias. Logo (n.° 243), todos os valores de x tornam
o trinomio positivo, e por consequência nenhum d'elles satisfaz á
desegualdade.
t | 7,° Problemas do segundo grau a uma incógnita
249. Achar um numero tal que, tirando do seu quadrado a sua terça parle, o resto seja egual a metade do mesmo numero mais um. Designando por x o numero procurado, temos
1 1
x---— ai === — x + 1.
3 2
Resolvendo esta equação, vem
6a2 — 2x = 3xi-6, 6a;2—5a; —6 = 0,
_ 5 ± t/2B~+T44_5 ± v/í69_5 ± 13
12 = 12 = 12 '
/_L8_1
12 Z' X 3 8. Achar um numero tal que. tirando 27 do sev quadrado e ajimclando 8 ao seu dobro, os resultados sejam eguaes.
Designando por » o numero procurado, temos
a;2—27 = 2;i;+8; e resolvendo esta equação, vem x2 — 2» — 35 = 0, »=1 'B\'i + 35 = 1 ± 6, »' = 7, »" = —5,
949. Achar um numero tal que, suhrahtdo de 4, o producto do resto por este mesmo numero pugmentado de 2 seja egual ao quadrado d este numero mais 4-
(4 — »)(» + 2)=»H 4.
Resolvendo esía equação, vem
— »2 + 9» + 8 = »* + 4, 2»2 — 2x — 4=0,
ltfavT+S 1±3 , „ . » = ---- -, »' = 2, »" =-1.
Lm individuo comprou um certo numero de hicíros de patino por 24$000 réis. Se com a mesma quantia tivesse com- prado menos tres metros, cada metro lhe custaria mais 400 réis. Petgunta-se quantos metros de panno comprou?
24000
Sua » o numero procurado de metros: será — o preço
24000 x ,
que custou cana metro, e —- o preço que custaria cada metro,
OC 1 O
se ti"esse comprado menos 3 metros; e como neste caso cada metro custaria maic 400 réis, teremos
24C00 25000 , , 240 240 V
= 400, oi — ---=4.
x — 3 x x — o x
Resolvendo esta equação, vem
240» — 240» + 720 = 4^ —12», 4»2 — 12» — 720 = 0,
6 ± v/36 + 2880 6 ±54 , M
— -■ - —=—- ,£^=15, x" — —12, Portrrto, o ind-viduo comprou 15 metros de panno. A solução negativa não resolve o problema, pois que a grandeza, represen- tada pela incógnita, não é susceptível de se tomar em dois sen- tidos opposi;os,
Para interpretar esta solução, como a raiz negativa de uma equação, tomada positivamente, é raiz da equação que se obtém, mudando a em — na equação proposta, segue se que #=12 é rriz da equação
240 240 „ 240 240
= ou----— = 4,
— x — ó —x f.x^ x + à
equação que pertence ao segui ite problema:
Lm individuo comprou um certo numero de mefos de panno vor 34S00C réis■ Se com a mesma quanic tiíisic comprado mais tres melros de panno, cada melro Ine custaria menos 406 réis Pergunta-se quantos metros de panno comprou?
351. .24 operários, homens e mulheres, receberam por um ma, de trabalho I3$>600 réis, os homens S$>000 réis e as mulheres 5$600 réis Cada homen recebeu 400 réis mais do que cada mulher. Qual era o numero dcs homens e qual o das mulheres?
Designando porjc o numero dos homens, será 24 — a; o nu- mero das mulheres. Como os homens receberam 8^000 réis, e
as mulheres 5#600 réis, fc "o ganho de cada homem, e 5600 x
—--o ganho de cada mulher; e como ceda homem recebeu
24 —a;
400 réis ma'"s do que cada mulher, teremos
8000 5600 , 80 56
--— — =400, ou------= 4.
x 24 — x x 24 — x
Resolvendo esta equação, vem
15)20 — 80a-— 56a; = 96a; — 4»2, 4a!2 — 232a; + 1920 = 0, a;2 — 58a + 480 = 0, a; = 29 ± VSíi—480 = 29 -J= l/36l =29 ifc 19, ®'=29 + 19 = 48, íc = 29 — Í9 = 10. A primeira raiz, sendo maior que o numero total dos operários, satisfaz á equação, mas não ao problema. Era, pois, 10 o liumere dos homens, e 24—10= 14 o das mulheres.
S&V. Determinar a profundidade de um poço, conhecendo o numero t de segundos, que decorrem entre o instante em que se deixa cair uma pedra no poço e o instante em que se ouve o som que ella produziu, batendo no fundo. (Despreza-se a resistencia que o ar oppõe ao movimento da pedra).
Seja x a profundidade do poço. O tempo observado t compõe-se de duas partes: o tempo í' que a pedra gasta em descer, per- correndo o espaço x; e o tempo t" que o som gasta a subir, percorrendo o mesmo espaço; e por isso será
Além d'isto, pela physica sabemos que o espaço x, percorrido pela pedra, caindo, durante o tempo t1, é dado pela fórmula
sendo g = 9m,8003; e que o espaço x, percorrido pelo som durante o tempo t", è
x=vt"...................(3),
sendo v = 340m. De (2) tira-se
x = —- gt'^ 2 y
..(2),
substituindo estes valores em (1), resulta
que é a equação do problema. Para a tornar racional, isolamos o radical, e vem
/2« x Resolvendo esta equação, acha-se successivamente
2v2® = gr?t% + gx* — 2 gvtx, gx- — Zv(v + gt)x + gvH* = 0,
x =
e(w + gt) ± \/v\v> + gtf — gW
9
v(v + gt} ± v(v + gt ± vV4 "2gvl)
9
9
Discussão. Como a quantidade debaixo do radical é positiva, as duas raizes são reaes. Além d'isto, sendo evidentemente
e por consequência as raízes são ambas positivas.
Ora, o problema admitte sómente uma solução, pois que a profundidade do poço é uma só; e portanto uma das raizep é estranha ao problema.
Esta raiz estranha provém de que, para resolver a equação (4) do problema, elevámos ao quadrado ambos os membros; e como a elevação ao quadrado faz desapparecer o signal particular do radical, a equação resultante conterá não só a raiz da equação
e esta raiz ê estranha ao problema. Com effeito, sendo, na ultima
x
equação, negativa a quantidade l--, é
(v + gt)2 > v- + 2gvt, será v + gt > lA>2 + 2gvt,
mas também a raiz da equação —
->í, ou x^>vl, o que não satisfaz ás. condições do problema; pois que, sendo
x = vl", e t1' < t, será também x < vt. i
Posto isto, como a primeira raiz da fórmula (5) dá evidente- mente x>vt, é esta a raiz estranha; e por consequência a única solução, que satisfaz ao problema, é
v(v + gt — V'V2 + 2gvt
OC ■ -•
3
Applicação numérica. Calculemos a profundidade do poço, suppondo f = 5". Substituindo na fórmula os valores de u, g, t vem
_ 340(340 + 9,8003.5 — ^340a 4 2.9,8003.340.5)
~~ 9,8003
_340(389,0015-^148921,020) _3í0x3,1015 — ^8003 9,8003 '
353. Achar sobre a recta, que une dois pontos luminosos A e B de intensidade differente, o ponto egualmente illuminado por cada um d'elles.
A J5 C
Seja a a intensidade da primeira luz, isto é, a quantidade de luz que ella envia para um ponto situado á unidade de distancia, e b a intensidade da segunda. A resolução do problema funda-se no seguinte principio de phvsica: a intensidade da luz varia na razão inversa dos quadrados das distancias á fonte luminosa. Esta lei exprime que, se a distancia se tornar duas, tres, quatro, etc., vezes maior, a intensidade da luz se torna quatro, nove, deze- seis, etc., vezes menor.
Posto isto, seja C o ponto egualmente illuminado pelas duas luzes, AB = d a distancia que ha entre ellas, e AC = x a di- stancia procurada: será CB = d — x.
Procuremos a quantidade de luz que recebe o ponto C do ponto A:
Se um ponto, situado á distancia 1 de A recebe a quantidade a de luz, o ponte C, situado c dislancit< x, que quantidade de luz receberá?
a-1
V--x
y: a:: 1 a;2, donde y
x*
Procuremos do mesmo modo a quantidade de luz que recebe o ponto C de B:
Se um popto, svuado á distancia i de B, recebe a quant dade b de luz, o ponto C, situado á distancia d — x, que quantidade de iuz receberá?
1
y' • 6:: 1: (d — a?)2, donde y'-
|--Wim • ."'í IJS [d—xf
E corrio o ponto C deve ser egualmente illuminado pelas duas luzes, teremos
V'a _±v/~b
x? (d — xy " x á — x,
que é a equação do problema.
Resolvendo esta equação, achamos
a
, ou
d\/ã—xVa=±xVb, d\/a = x[\'a± ^b),x-. ou, separando as raizes,
x' = d. . ya —, x=-d.
Wí
Va+Vb' Va~\/b
Discussão 1.° Caso. ou l/a> \/b. A raiz x' é positiva;
e como o factor —=——-= é um quebrado proprio, serô x' <<í. V a + Vb
Além d"sto, subsiituindo no segundo factor l/ b pela \!a, que é maior, esse segundo factor drminue, e por isso teremos
, d /a d\!a d
x > --—, ou x' > —-=, ou - .
^ a + / a 2s/a 2 Portanto, a primeira raiz dá um ponto C, egualmente illuminado, entre A e B e mais perto de B do que de A, e assim deve ser. Com effeilo, a hypothese a > b exprime que a luz A é mais forte do que a luz B; e o ponto egualmente illuminado deve estar mais perto da luz mais fraca. j/a A segunda raiz x" é também positiva; e (orno o factor -^
é um quebrado improprio, ser!\x">d. Portanto, a segunda raiz dá um outro ponto C', egualmente illuminado, para a direita de B. E concebe-se facilmente a existencia d este ponto, pois que a maior intensidade da luz A é compensada pela maior distancia a que se acha do ponto C'. ~Ã
2.° Caso. a<b. A raiz x' é positiva: e como o faclor —
é um quebrado proprio, será x' < d. Além d'isto, substituindo no segundo factor 1/ b pela l/a, que é menor, esse segundo factor augmenta; e por isso teremos
d\fa . d\/ a , d
x <-7=-r=, ou x <——, ou ar<—.
Va + Va 2t/<i 2
Portanto, a primeira raiz dá um ponto, egualmente illuminado, entre A e B e mais perto de A do que de B. E assim deve ser, 'pois que a luz A é mais fraca do que a luz B.
A segunda raiz x1' é negativa, por ser v a CV7b. Ora, como a incógnita x representa uma distancia, que pode ser contada em dois sentidos oppostos, a partir do ponto A, a raiz negativa indica a existencia de um ponto, egualmente illuminado, para a esquerda de A. .
3.° Caso. a — b. Neste caso, a primeira raiz
d[/a d
X 2~/a 2
indica a existencia de um ponto, egualmente illuminado, no meio de AB. Isto mesmo se reconhece fàcilmente, attendendo a que as duas luzes têm a mesma intensidade. 16 A segunda raiz x"——— <x indica que não existe segundo
ponto egualmenle illuminado. Com effeito, tendo as duas luzes a mesma intensidade, qualquer ponto, situado ô direita de B, recebe mais luz de B do que de A; e o contrario tem logar para um ponto, situado á esquerda de A.
4.° Caso. a — b e d — O. Neste caso é
oé — 0, =
A solução £c"=— indica a indeterminação do problema.
Com eíFeito, a hypothese d = 0 significa que as duas luzes estão situadas em A; e como têm a mesma intensidade, qualquer ponto da recta AB é egualmenle illuminado por ellas.
A raiz sé— 0 é uma das soluções que o problema admitte.
5.° Caso. d — O e a> ou <b. Neste caso, as duas raizes
x> = 0, x = 0-
indicam que* sómente o ponto A é egualmente illuminado. E na verdade, estando as duas luzes situadas em A e tendo intensidades differentes, qualquer ponto da recta AB recebe maior quantidade de luz do foco mais intenso.
m * i
EXERCÍCIOS
Resolver as equações seguintes:
311. Sa:2 — 80 = 0. x = ± 4.
312. 3»2 — IScc = — 2a;2. x = 0, 3. 313.. a;2 = 12 — x. x -= 3, — 4.
314. a;(3 — x) — 2 = 0. a? = 2, 1. OJ_ . 3x 81 " „ 27
315. -5+T=2Õ- ® = 3,— 4-.
316. v®2—-f ® + x <=> 3,504, — 2,354.
o 4 d
„,„ 2a;2 . 4a; 1 12a; , „ 1
317- x+y-e = 5-+a5-°'5- * = Õ-
olc 4a:2 8a; , „ Sa:2 , Sa; 321 „ 149
318. t-+i = t+t-w x—6, jg-.
J{ <n?
7* 3 4 8 — TT ^ 8~"
7x %x-S) 7a* 147,01 32°" 8 16 +°'48 = ----
6
321.
322.
323.
324.
325.
326.
327.
328.
329.
330.
331.
332.
333.
9—a; 4 3(a;—1) 2 as—2 2 as 7 0. 4 a;+60 6 5—3as~ 4 as—2 as—3 as—4' 1 1 1 a:—1 a;—2 as—3' 4 5 12 as+2 a+25 r as4-4 as—25 as+6.' = 0. as+l x—1 a;—2 a:—3 7 as-3 a;—4 2" 6 1 'as—5 2a;—6 a;—3 4 " x—1 ®+l . 13 a?+l n «+1 x—1 as—1 6' 2a;—I as+2 /»+* a; — 2 as+2 x—1' 2a+13 a; —I x—2 as+l x—5 as—8 x-—9^ a; 4-3 as—3 3a;+2 7—as 7a;—1
%c— 1
2x+ I 4x2- i 24-
1-3.
12
x = 8, — 14,5.
__5 81
43"
x — 4, 1. x = 14, —10.
K 8
35 = ' T"
x = 4,414, 1,586. a; = 6, •
10
' 3'
x ==±5.
_„ 10
«-0, y.
83 = 7, 1. « = ±5.
as = 4, 0.
as = 5,
6
as = 13, —
13
3'
__, 1
_ 7 ±
x~ 6' 4"
334.(as-f)(as-f-) =
11 3' 10'
336. =
a ' a- b x +
337. «W—2rt:ta;+a«—1=0. 3S8. nfca;2— (<i+ 6)®+1=0.
339. 262as+2aas*=W2—2a6,+5á&a;.
as = +
. 1 1
x —a--, a — —.
'a' a
as =
1 1
>' , ab
x — i , 6 ' a
,26. 340.
341.
342.
343.
x+b 1 x—6 ■U. as+a x+b ■ 1. x—a x—b
- | l 1
x—a 1 x—b x — l a— b 1 x+2b
' = ±1tab-
as
— ■T (3a — b ± vA>«1 — ÍOflfc +
x—c + ^tf+ab—ab — ac. 3a+b
X =
344.
345.
x+a a;+2a a;+3a 1.1,1
ha x
—. X=
3a
"-S-. — 4«-
=0.
a ' x—2a ' x—3a Resolver as desegualdades seguintes: 346. — 9® + 14>0. 347.
a? + x - 12<0. 349. X2 — 6a; + 9>0. 351. 3®2— 56a;+12<0. 353.-9— 2a;— 7a;2>0.
348. a;* — 4a; — 45 <0. 350. 7a — 6 — a;2>0. 352. 3a;2 —4a; + 8>0.
Discutir a priori as raizes das equações seguintes:
355. a;2 + 3a;—10 = 0.
357. a;2 —8a;+ 20 = 0.
359. 3a;2 —4a;— 4 = 0.
361. 2a;2— 5a; + 7=0.
354. a:2— 6a;+ 5 = 0. 356. a;2— 8a;+16 = 0. 358. 6a;'-— 13a; + 6 = 0. 360. 9a;2—12a; + 4 = 0.
362. Resolver a equação xz + px + q = 0, considerando (/ + px como a somma dos dois primeiros termos do quadrado de um binómio.
SôS^Formar a equação (lo segundo grau, cujas raízes são 2 + y 3 e 2 — l/ 3.
364. Formar a equação do segundo grau, cujas raizes são 2 + 3 y— 1 e 2 —3/^1.
365. Determinar a condição necessaria para que as equações ax"1 + bx + c = 0, a'x~ + b'x + d — 0 tenham as mesmas raizes.
366. Determinar p na equação x1 + px + 24 = 0, de modo que a diffe- rença das suas raizes seja 3. (p = + 11).
367. Determinar q na equação x2 + 10a; + q = 0 de modo que uma das raizes seja quádrupla da outra, (q — 16).
368. Determinar q na equação x2 — 5a; | q = 0 de modo que a somma dos cubos das suas raizes seja 35. (q = 6).
369. Achar dois números cuja differença é 8 e o producto 308. (+ 14 e + 22).
370. Achar tres números pares consecutivos e taes, que a somma dos seus quadrados seja 776. (+ 14, + 16, + 18).
371. Achar quatro números proporcionaes aos números 2, 5, 9, 11, sa- bendo que a somma dos quadrados dos tres primeiros é 2750. (10, 25, 45, 55). 372 Dois viajantes partem ao mesmo tempo do mesmo ponto, e vão um para norte e outro para leste, percorrendo o primeiro 30 kilometros por dia e o segundo 40. Passados quantos dias, distarão 250 kilometros um do outro? (5).
373 Achar dois números cuja differença é 36, e a somma dos seus qua- drados 2448. (12 e 48).
374. A differença dos cubos de dois números consecutivos é 109: quaes são os números? (7 e 8).
375. Achar dois números taes, que a sua differença seja 2, e a dos seus cubos 98. (+ 3 e ± 5).
376. Achar dois números, cuja somma é 31 e a dos seus cubos 8029. (18 e 13).
377. Dividir o numero 10 em duas partes taes, que a somma dos seus cubos seja 370. (7 e 3).
378. Achar dois números taes, que o excesso do maior sobre o menor seja 48 e que, ajunctaudo á sua somma o quociente da divisão do maior pelo menor, o resultado seja 99. (72 e 24, on 1 e 49).
379. Achar uma fracção tal, que o excesso do denominador sobre o nu- merador seja 3; e que,"ajunctaudo 2 a cada termo, a fracção resultante
2 / 4 _
valha —mais que a fracção primitiva. (you—g~ )•
380. Achar dois números, sendo 234 a sua somma e 2100 o seu menor múltiplo commum. (150 e 84).
381. Um individuo distribuiu 840 nozes por um certo numero de rapa- zes. Se cada um recebesse 2 nozes de menos, cada um teria tantas, quantos elles eram. Quantos rapa-zes eram? (28).
382. Um individuo vendeu um relogio por 16 libras, e perdeu na venda tantos por cento, quanto lhe tinba custado. Por quanto o tinha comprado? (20 ou 80).
383. Um individuo vendeu uma casa, perdendo na venda tantos por cento, quanto lhe tinha custado. Emquauto a possuiu, rendeu-lbe 20 moe- das; e a somma do que recebeu da venda e do rendimento d'ella foi 41 moedas. Por quanto a tinha comprado? (30 ou 70).
384. Muitas pessoas fizeram em uma hospedaria a despeza de 12J5000 réis; mas, não podendo 4 pagar por falta de dinheiro, pagaram as outras por ellas, e deu cada uma mais 4J000 réis do que lhe pertencia. Quantas pessoas eram? (6).
385. Dois operários, empregados por preços differentes, foram pagos passado rerto tempo. O primeiro recebeu 9$GOO réis, e o segundo, que. deixou de trabalhar 6 dias, recebeu 5$400 réis. Se o segundo tivesse tra- balhado todos os dias, e se o primeiro deixasse de trabalhar 6 dias, ambos receberiam a mesma quantia. Quantos dias trabalhou cada um, e quanto ganhou cada um por dia? (O primeiro trabalhou 24 dias e ganhou 400 réis por dia. O segundo trabalhou 18 dias e ganhou 300 réis por dia).
386. Se dessem mais 5 laranjas por 375 réis, a dúzia custaria menos 30 réis. Quanto custou cada laranja? (15 réis).
387. Um individuo, que fez uma viagem de 630 kilometros, teria gasto menos 4 dias, se caminhasse mais 10 kilometros por dia. Quantos dias gas- toii na viagem, e quantos kilometros caminhou por dia? (18d-, 35k"").
388. Uma mulher comprou, para revender, um certo numero de laranjas por IsSOOO réis. Deitou fóra 5 que se estragaram, e vendeu cada uma das outras