Tratado de Algebra Elementar/Livro 4/Capítulo 2

by José Adelino Serrasqueiro

—;

303. Quando um polynomio ordenado éuma potencia m exacta, o seu primeiro termo é a potencia m do primeiro termo da raiz, e o ultimo é a potencia m do ultimo termo da raiz. Portanto, reconliece-se que um poly- nomio não tem raiz m exacta :

1.° Quando o primeiro termo e o ultimo não sao potencias exactas do grau m.

2.° Quando, sendo o ultimo termo potencia exacta, apparece na raiz um termo, que contém a lotra principal com um expoente inferior ao da raiz m d'aquelle ultimo termo.

3.° Quando, sendo o ultimo termo potencia exacta, apparece na raiz um termo do mesmo grau em relação á letra principal, mas differente d'aquelle que devia ser o ultimo.

4.° Quando, sendo o ultimo termo potencia exacta, apparece na raiz exa- ctamente o termo que devia ser o ultimo, sem que o resto correspondente seja nullo.

exercícios

500. Quantos arranjos se podem fazer com 15 objectos 6 a 6?

501. Quantos arranjos se podem fazer com to—p objectos p—2 ap— 2?

502. Quantos números de 3 algarismos se podem formar com os números desde 1 até 9 inclusive ?

503. O numero de arranjos de n objectos 3 a 3 está para o numero de arranjos dos mesmos objectos i a 4 na razão 1:20. Achar n. (23).

504. Um numero m de objectos está para o numero dos seus arranjos 3 a 3 na razão 1:240. Achar m. (17).

505. Quantas permutações se podem fazer com 10 objectos ?

506. Dispor de todos os modos possíveis os factores do producto 3X5 X 4 X 9.

507. Achar todos os anagrammas da palavra prato.

508. Quantas combinações se podem fazer com 100 objectos 94 a 94?

509. Quantas combinações se podem fazer com m —p objectos q — la q— 1?

510. Qual é o numero total dc combinações que se podem fazer com 8 objectos?

511. Um numero tem por factores primos 2, 3, 7, 13, 17. Qual é o nu- mero total dos seus divisores?

512. Um destacamento de 10 homens tem de dar cada noite uma guarda de 4 homens. Durante quantas noites se fórma uma guarda diflerente?

513. O numero de combinações de n 4- 2 objectos 4 a 4 está para o nu- mero de combinações de n objectos 2 a 2 na razão 11:1. Achar n. (10).

Desenvolver as expressões seguintes :

514. {cc-i-y)515. (y — zj7. 516. (2 -f a)B.

517. (3a: 4-2yf. 518. (u34- 62)7. 519. (fi^-t/3)8.

520. (2« — b-)1. 521. (3«2— 6)8. 522. (m24-3b)6.

523. CZx-W-D». 524. (i -255. (y-^)'-

526. (\/2c4- V/3íc)6. 527. {\/~ã?—\Í3Ã)W. 528. (/2Õã-f/ãã^)6.

(ÉJE? 4- X?). 530. (4a; 4- 3y 4- 2í)3- 531. (6a — 76 4- 2c) \ b a* / 532. j+y)3- 533. (3a— 2b + c)4. 534. (l+íc+íeS+a;3)".

535. Achar o sétimo termo tle (2 + o)16.

536. Achar o sexto termo de (3 -f- 2«2)9.

537. Achar o duodécimo termo de (cfi — 3»5/0.

Extrahir as raizes seguintes:

538. ^27fts^108g^-2WP—4ã4@"+465a»P3— 300ofc'^12gft5

539. 'tf-772a"a;9+27a3a;6+54o!>x>-1 atia^^ -OHaS^HiBalTi^+tSOft8^.

540. \f32a10—{080«V;e-f810aW—243b10.

541. ^32Pgg2gPg+ 720a^7—1080a^H"81Óa2&9^-243fc'0.

542. 10a64t%3 + 40«W«/ - 80aWcMf -f SOaWyK—320^

CAPITULO II Fracções continuas

| l.n 1 >olillicõos

304I. Fracção continua é uma expressão composta de um inteiro, que pode ser zero, e de uma fracção, cujo numerador é a unidade e cujo denominador é um inteiro augmentado de uma fracção, cujo numerador é a unidade e cujo denominador é um inteiro augmentado de uma fracção, e assim por deante.

Tal é a expressão

c 4

Os termes a, b, c,... . chamam-se quocientes incompletos; e til

ás f acções —, —, —r. . . dá-se o nome de fracções integrantes, bca

30». Tomando em uma fracção continua um, dois, tres, etc., termos, a partir da origem, e reduzindo as expressões resultantes á fórma de quebrados ordinários, dá-se a estes o nome de redu- zidas ou fracções convergentes. Portanto: 19 Reduzida ou fracção convergente é o quebrado ordinário equi- valente a uma porção qualquer da fracção continua, tomada a partir da origem.

Em qualquer fracção continua os differentes numeradores são conhecidos: e por isso podemos representar uma fracção continua simplesmente pelos quocientes incompletos, escriptos em seguida uns dos outros pela sua ordem. Assim, em logar de

x='à + ---- í

2 H--1

4 + -— 1 1 +

5

podemos escrever mais simplesmente: £c = 3, 2, 4, 1, 5.

| 2.° Oonyersào cias grandezas em fracções continuas

366. Para desenvolver uma grandeza A em fracção continua, determina-se a sua parte inteira a; e teremos

1

A = a + —, sendo B > 1.

D'esta egualdade tira-se

1 1

— — A — a, e 15 = -——, sendo A — a < 1. B A — a

Determina-se a parte inteira de B, e pomos B = b+4r, donde Jr=B —ò, e C =

C C ' B — b

Determina-se a parte inteira de C, e pomos

1,1 i

C =± c +■ —-, d onde — = C — c, e D =

D D C—c Determifia-se a parte inteira de D, e pomos

e assim por deante. Depoií por meio de substituições successivas acha-se

1

A=-=a +1 . b +-

que é o desenvolvimento pedido. Este processo é geral, e só- mente exge que se saiba determinar a parte inteira da gran- . ;za de que se tracta

Se algum dos números B, C, D, ele., for inteiro, a fracção continua é limitada; e no caso contrario é iil'rrilada.

Quando, numa rracção continue iHimitada, os termos se repro- duzem pela mesma ordem, a fracção continua chama-se perió- dica: simples, se os termos se reproduzem a partir do primeiro; e composta no caso contrario.

3 ttí. Converter um Quebrado ordinário em fracção continua. A

Seja —— um quebrado, em que A e B sãc dois números inteiros, B

Para determinar a parte intoira de — , basta dirdir A por B: chamando q o quociente e R o resto, pomos

Al IR B

~ = ç + —, em que —= 3 x a; li R

Fara deterpiir ar a parte inteira de x, d:vidimos B por R: chamado q' o quociente e R' o resto, temos

, í IR' R

x = q+j, em que — = ■ —, e y =

Do mesmo modo, para determinar a parte inteira de y, divi-

• dimos R por R': chamando q'1 o quociente e R" o resto, será

e assim por deante. Fazendo substituições successivas, achamos

A x 1 i

— — o H--1

B 1 r/+

q"+ ■ • -

Examinando as operações feitas, vemos que dividimos A por B' B por R, R por R', etc., isto é, praticámos o processo para achar o maior divisor commum de A e B. Logo:

Para desenvolver um quebrado ordinário em fracção continua, procura-se o maior divisor commum dos seus dois termos, cometa çando por dividir o numerador pelo denominador: os quocientes, pela ordem em que se obtiveram, são os termos da fracção continua.

Exemplo: Converter

6228 28182

em fracção continua.

6228 28152 6228 3240 2988 252 216 36 0 0 4 l 1 11 1 6

ou

6228 28152

6228

= 0, 4, 1, 1, 11, 1, 6

1

28152 4 +

1 +

1 +

11 +

1 +

1

6

308. Converter uma fracção decimal em fracção continua. Reduz-se primeiro a fracção decimal a quebrado ordinário, e depois desenvolve-se este em fracção continua.

Algumas vezes o valor de uma grandeza, expresso em fracção decimal, é só aproximado. Neste caso, para desenvolver a gran- deza em fracção continua, tomam-se dois valores aproximados, um por defeito, e o outro por excesso; e desenvolvem-se simultat

neamente estes valores em fracção conl.nua, ate chegarmos a d( ;s quocientes differentes. Feito isto, os termos commrns aos dois desenvolvimentos pertencem ao desenvolvimento pedido.

Com effeito, seja x urna quantidade comprehend:da entre y e z, isto é,

y<x<z................(1);

e supponhamos que y e z, desenvolvidos em fracção continua, dão

1 1 1

y' y y"

í í i

Estancio x compreliendido entre y e z, a sua parte inteira é a. Porque, se a parte inteira de x fosse maior do que a, seria x>z; e se fosse menor, sei ia x<y, contra a hypoihese Teremos pois

'■'J , 1

r»=a-r —r. x'

Substituindo em (1) os valores de y, x e z, vem

1 1 1111

a+—r<a-\-- <a + —ou —r<-7<-r, y x' z y x z

e por consequenca y'>jfb >z'................ (2).

Ora, estando x' comprehendHo entre y' e z', e tendo y' e z' a mesma parte inteira b, será também b a parte inteira de x'; e por isso

Substitu ndo em (2) os valores de y', x' e z', vem 1,1,1 111

y x z' y' x z'

e por consequência y1' < x" z'1.

Estando pois x*'\ çomprehendide entre y" e z", e tendo y>' e z" a mesma parte mteira c, será também c a parte inte;ra de x'!: e por isso

X" = C + S

X

Do mesmo modo se prova que todos os outros termos com- muns a y e z pertencem ao desenvolvimento de x. Exemplo Desenvolver em fracção continua o numero *r=-3,1415Ô26535. .

íéSÉÈè 314,15926 31415927

3,1415926 3,1415927, ou - <w<--:

10000000 10000006

desenvolvendo estes do s quebrados em fracção continua, achamos

314)6926 ;»MliíMí

10000000 31415927

ntooc )o

= 7, ^5, 1, 3o4. . .

1

loco 7t = 3 + 1

b i -1

15 +

1 + ..

>Oí>. Converter uma quantidade irracional do segundo grau em fracção continua. Seja \/7 a quantidade que queremos des- envolvei em fracçèo continua.

Como está comnrehendidí entre 2 e 3, é 2 a sua parte Inteira ; e por isso pomos

y/7=2-1

x

D'est& equação tira-se

x p —2 3

e como

est; comprehendida entre 2 e 3, x estará compre- 4 S

hendido entre —- e logo"é 1 a sua parte intei-a, e por isso

u u ^7+ 2 . t 1 pomos x——„—= H--.

3 y

.1 V/7 + 2 , ^7 — 1

IJ esta equação tira-se =—-—--1 = -—-—-,

y 3 3

y = = 805+O = V^+J

t/7—1 6 2

e como v/7 esjtá comprehendida entre 2 e 3, y estará compre- 1 3 4

hendido entre — e —-: logo é 1 a sua parte inteira, e por isso teremos _

V/7+1 , , 1

S/ = —7;—= 1 +--

• 2 z

.v , a »• 1 V/7 + 1 l/7 — 1

l) esta equação tira-se -—=—-— — 1 =---,

z á £

2 2(v/7+1) V/7+ 1

\Jl_1 6 3

e como V/7 está comprehendida entre 2 e 3, z estará compre-

3 4 ...

hendido entre — e —: logo é 1 a sua parte inteira, e por isso

temos 3 3

V/7+1 .1

1 V/7+1 „ v/7 — 2 I)'esta equação tira-se — — -——---1 =---,

tô O

V/7 —2 3

e como j/7 está comprehendida entre 2 e 3, t estará compre- liendido entre 4 e 5 : logo é 4 a sua parte inteira, e por isso teremos

7 + 2 = 4 + —.

u D'esta equação tira-se _L=r= — 2, u=

\/l —2

e d'aqui por deanle os cálculos reproduzem-se periodicamente pela mesma ordem. Fazendo substituições successivas, achamos

v/7 = 2 + -L 1 ,

1 +7--1 4

1 + tt' 1 <

1 +7— \

4 +

1 + ...

§ 3.° Lei da formação das reduzidas

3 IO. Supponhamos a fracção continua

x = a, b, c, d, e,. . . .

As quatro primeiras reduzidas são:

o I ab+i a — — ... .(1), <* + —== - ..............(2),

i A . c abc-ia + c Ía6+l)c + a

a + —— 1 = a + --7=———-—= -—-——_____(3),

b + — bc + 1 bc-fl bc+1 w

c

J. 1 1 ; cd+ 1

a + -— 1 , ==a + -— d =a +

(4).

. . , 1 b + -—— fccd + é-fd

c -I--— cd + 1

d

abcd + ab + ad + cd + l (abe + a + c)d + aò+l ^ M + b + d = (fcc + l)d + 6~

Comparando (3) com (2) e (1), e (4) com (3) e (2), conclue-se que:

Uma reduzida qualquer deriva-se das duas antecedentes, mul- tiplicando os dois termos da segunda pelo quociente incompleto correspondente á reduzida que se quer obter, e ajunctaudo respe- ctivamente aos dois lermos do quebrado resultante os dois termos da primeira reduzida considerada. 

Para generalizar esta lei, vamos demonstrar que, se ella tiver logar para uma reduzida qualquer, terá também logar para a seguinte.

A C E G ,

Sejam —, -, —, — quatro reduzidas consecutivas, e sejam

p e q os quocientes incompletos correspondentes ás duas ultimas.

E

Supponhamos que a lei se verifica na reduzida —: será

r

E___Çp + A

Além d'isto, sendo p o quociente incompleto correspondente a

E , G

—, e 5 o correspondente a —, teremos

E , t G .1

F b+. H

1

•4 1 •+ -í 1 *

4------p +-.

V 9

G E

D onde se vé que o valor de —— se deduz do valor de —, mu- I H r

dando neste p em p H---e por isso será

9

cK

+ A Cx^ti + A

G__ \f }/ _ q _Cpq+C+Aq

u{, +1) +

V q/ q

(Cp + A.)q+C Eq+C

(l)p + B)q + l) Fg + J)'

d'onde se vê que a lei, tendo logar para uma reduzida qualquer, tem também logar para a seguinte. Mas reconhecemos que a lei é verdadeira para a terceira e para a quarta reduzida ; logo é também verdadeira para a quinta, e assim por deante. 311. A lei da formação das reduzidas fornece-nos o processo para, dada uma fracção continua, achar a grandeza de que ella é o desenvolvimento. Para isso, basta formar as reduzidas conse- cutivas : a ultima é a grandeza pedida.

Exemplos. l.° Seja dada a fracção continua

x=% 3, 1, 5, 4, 4, 1, 2. Formando as reduzidas consecutivas, temos jí 7_ 9 52 2|7 920 1137 319Í _3194

T' T T' 23' 96 ' 407' ~5Õ3 ' 1413: 8° ^~T4Í3' 2.° Supponhamos a fracção continua

x = 0, 4, 1, 1, II, 1, 6. Formando as reduzidas consecutivas, temos

^ 1 H 23 25 173 173

1' 4' 5' 9' 104' 113' 782: ®~782'

Se a fracção continua for illimitada, sómente podemos obter

um valor aproximado da grandeza, tomando uma das reduzidas.

t

313. Se a fracção continua for periódica, podemos ainda achar exacta- mente a grandeza; e para isso vamos eslahelecer alguns princípios.

1.° Em uma fracção continua periódica simples, a reduzida composta de um certo numero de períodos e a reduzida, que tem um período a mais, diffe- rem entre si em menos do que qualquer grandeza, tornando um numero de períodos suficientemente grande. Supponhamos a fracção continua

x=a, 6, c,----k, a, b, c,----n3. ■

Seja —j o valor de uma reduzida composta de um certo numero de pe- ' na

riodos, e sejam —e as duas reduzidas antecedentes: sera

r_nq -f-p

r1 nq' 4-p1'

v

Além d'isto, seja — a reduzida que tem um período a mais: designando ® v r

por lc o valor de um período, o valor de deduz-se do valor de -p, mu- dando neste n em n +4-; e vem te

= q(n+ nqk + q+pk = (nq+p)lc + q = rk+q

v' qiín^ly^pi nq>k-t-q'+p'k (nq' 4- p')k + q> r'k + q' e tomando a differença das duas reduzidas,

v r_ri; q r _ qr1 — rq' _ + 1_

v' ~~ r' ~r'k -\-q' r' ~~r'(r'k -f- <]') ~rl(iJh + q')'

Suppondo a reduzida - composta de um numero de períodos suficien- temente grande, o seu denominador r1, pela lei da formação das reduzidas,

v r

excede toda e qualquer grandeza; e por consequência a differença —---

tende para zero. * v r ■

2.° Em uma fracção continua periódica simples é

. 1

1 X

Seja Xi uma reduzida composta de um numero i de períodos, e a reduzida que tem menos um período: será

xi=a+bT.

1

1

Xí.t

1

ou, designando por k o valor do período, x> — k -f -

Xi—i

Posto isto, seja a a differença entre Xi e x, e 8 a differença entre x, e Xí-i : leremos

X{ — X — a, Xi-1 = Xi — S = X — (a-j- ê), 1

e por consequência x — a — k

X — (a + 8)'

Ora a differença a entre xt e x tende para zero, tomando i sufflcientemente grande: logo x— a. é uma variavel que tem por limite x. Além d'isto, a díffereíiça Ò entre a reduzida Xi e a reduzida Xí-i, que tem menos um pe-

1

riodo, tende também para zero: logo /.:-!---;——^r é uma variavel que

I ' x — (a + o)

tem por limite —; e por consequência, pelo principio fundamental dos limite3, é x

1 , 1 3." Toda a fracção continua periódica é uma das raizes d'uma equação do segundo grau de coefficientes racicmaes. Seja, em primeiro logar, a fracçãc eontinua periódica simples

x = a,b, c,... n, a, b, c,____n,----

1

Temos x = a 4- r~r—

6+ •

1 X

fl 7Yí

Formando as reduzidas consecutivas, e designando por ^ e as duas penúltimas, a ultima, que represelita o valor da fracção continua, é

x = r"f 1"- ^, d'onde m!x8 4- M — n)x — n — 0, m'x-\-n' i \ / >

e portanto x, valor da fracção continua, é raiz de uma equação do segundo grau de coefficientes racionaes. Como esta equação tem as raizes de signaes contrários, rejeita-se a raiz negativa, e toma-se a raiz positiva para valor da fracção continua.

Supponhamos agora uma fracção continua periódica mixta

x = p, q,. ■. .t, a, b,... .n, a, &,....«,.... Designando por y o valor da parte periódica, temos

" • 1 ■ 1

+1+1 +n"+i,

y y

V

Designando por — a reduzida que dá o valor da parte nao periódica e

u ^

por a reduzida antecedente será

x= vy + u ; v'y + u

n

além d'isto, designando por —j a reduzida que dá o valor do período, e poi

f 271 ^

—r a reduzida antecedente, é m

ny+m

d'este modo temos duas equações, uma do primeiro grau em y e outra do segundo grau Resolvendo a primeira equação em ordem a y, e substituindo o valor de y na segunda, resulta uma equação do segundo grau em x, de coefficientes racionaes.

313. Por meio d'estes princípios, podemos achar facilmente a gran•••'•*••»• 1 , '■ ■ HW"'!

deza geradora de uma fracção continua periódica. Exemplos: 1 ° Seja dada a fracção continua

x = 3, 1. 2, 3, 1, 2,. ..

1

Temos « = 3 4- — 1

1 x

Formando as reduzidas consecutivas, temos

3 4 11 11®-)- 4 . ila; 4- 4 „ „ 5l , A

~á T> r apV logo # 3Í+ ■ou 4 = o.

Resolvendo a equação, e aproveitando a raiz positiva,'/^,

l/2S+lá 5+\/37

_ 3 'J;

2." Supponhamos a fracção contínua

a; =-2, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4,....

Designando por y o valor da parte periódica, temos 1 1

TM 4 + i JL {

4 ■ |- — V

Formando as reduzidas de y,

J_ 2 _3 14 % -H3 l3 1' 2' 9' % + S

logo y = M^J ou 9^ - 12?/ — 3 = 0, ou W- ky -1 = 0, d'onde , = =

l.° Lma quantidade commensuravel, desenvolvida em fracção continua, produz uma fi acção continua limitada.

Porque, para desenvolver uma quantidade commensuravel em fracção continua, empregc-se o processo do ma-or dwisoT com- mum;; e este conduz sempre a um numero limpado de ope-açôes.

2 0 Reciprocamente: JJma fracção continua limitado corres- ponde a uma quantidade commensuravel

Porque, formando as reduzidas consecutivas, a ultima repre' senta exactamente a quantidade garadora da fracção continua. 3flS. 1.° Uma quantidade incommensuravel, desenvolvida em fracção continua, produz uma fracção continua illimitada.

Porque, se esta fosse limitada, a ultima reduzida representaria exactamente a quantidade geradora, a qual por consequência seria commensuravel.

2.° Reciprocamente: Uma fracção continua illimitada cones- ponde a uma quantidade incommensuravel.

Porque, se esta fosse commensuravel, o seu desenvolvimento

seria uma fracção continua limitada, contra a hypothese.

•

§ 4.° fiopricdadc.s das reduzidas

316. A differença entre duas reduzidas consecutivas é egual a um quebrado que tem por numerador ± 1, e por denominador o producto dos denominadores das duas reduzidas: tendo logar o signal +, quando a reduzida que serve de diminuendo for de ordem par; e o signal —, quando for de ordem impar.

Supponhamos a fracção continua

X — a, b, c, d,.. > .

A C E

Sejam —, —, — tres reduzidas consecutivas, e seja p o quo- ciente incompleto que corresponde á terceira: será

E Cp 4 A F ~Dp + B'

Subtrahindo cada reduzida da seguinte, vem

C A__BC —AD

í) li BD •

E C + A C ..JAÓ —BC_AEfr—BC F U ~" Df + B D (Dp + BjD — DF 5

d'onde se vê que os numeradores de duas differenças consecutivas são eguaes e de signaes contrários, e que o denominador de cada differença é o producto dos denominadores das duas reduzidas consideradas. 1

Ora, subtrahindo a primeira reduzida a da segunda a+-r~, 8

1 .

differença é + -—: logo, subtrahindo a segunda da terceira, o

numerador da differença será — 1 ; subtrahindo a terceira da quarta, o numerador da differença será + 1, e assim por deante.

319. As differentes reduzidas são fracções irreductiveis. Sejam e -j^- duas reduzidas consecutivas. A sua differença é

A C AD —BC

B D ~ BD

e como o numerador da differença de duas reduzidas consecutivas e ± 1, teremos

AD — BC = ±1.

Posto isto, se A e B não fossem primos entre si, teriam um di- visor commum d, differente da unidade; e este, dividindo AD—BC, dividiria,também ± 1, o que não tem logar.

318. Esta propriedade das reduzidas pode empregar-se para simplificar um quebrado. Para isso, desenvolve-se o quebrado em fracção continua, e formam-se as reduzidas consecutivas. A ul- tima é o quebrado proposto simplificado.

504

Exemplo. Simplificar o quebrado j^Jg' ^esenV0'VCI1(^0 0 que- brado cm fracção continua, temos

1716 = ® '

e formando as reduzidas consecutivas, vem

_0 1_ 2 _5 42 50í __ 42

1 ' 3 ' 7' 17' 143 ! g° TTTÔ Í43*

319. A differença entre duas reduzidas consecutivas é tanto menor, quanto mais elevada for a sxia ordem. Sejam ~ e duas reduzidas consecutivas: teremos J B D

_A_X _± 1 b D ~ ED

Mas a lei da formação das reduzidas mostra que o denominador de uma reduzida é tanto maior, quanto mais elevada for a sua ordem: logo, augmentando BD com a ordem das reduz.das, a ±1

di Ferença —— diminue. BD

33O. As reduzidas de ordem par são maiores do que o valor da fí acção conl\ma e as de ordem impar são menores do que esse valor. Supponhamos a fracção continua

x = a, b, c, ... li, l, m,.. . . A C E

Se am , —-, — tres reduz.das consecutivas, e p o quo J D

ciente incompleto correspondente á ultima: será

E _Cp + À

E

Sendo p o quociente í completo correspondente a —, teremos

E 1

! a

F b+.

1

P

1

e designando por y o valor de + —V sei>à lambem

1

x — a-Y ■—— o -V . E

d'orule se vê que o valor de x se deduz do valor de —r, mudando neste p em y; e por isso será

_ Cy + A

X~ íh/TB'

ou, tirando—,

C Cy + A C AD —BC

Cf__;; _j___ __ _ ■■■ -_____

D D?/ + B D D(Dy + B)"

A C

Ora, AD — BC é o numerador da differença-—---—-: logo, se

p li JLJ

— for uma reduzida de ordem impar, será A D — BC = + 1 ;

D C C J ,

e por consequência x > —. Porém, se — lor de ordem par,

ç

será AD — BC = —1, e porlanto,

D'este principio conclue-se que: o valor da fracção continua está comprehendido entre os valores de duas reduzidas consecutivas quaesquer.

Advertencia. Vimos já que a differença de duas reduzidas consecutivas é tanto menor, quanto mais elevada for a sua ordem; e como o valor da fracção continua está comprehendido entre duas reduzidas consecutivas, segue-se que: as reduzidas conse- cutivas vão-se aproximando, cada vez mais, do valor da fracção continua. É por esta razão que ás reduzidas se dâ o nome de fracções convergentes.

1.° O erro que se commette, tomando uma reduzida qualquer para valor da fracção continua, é menor que. a unidade dividida, pelo producto dos denominadores d'essa reduzida e da seguinte.

A C J

Seiam —- e — duas reduzidas consecutivas: teremos J B D

A_ C _ 1T~T) —BD' Designando por 8 a differença que ha entre o valor da fracção \

continua e a reduzida -—, como o valor da fracção continua está

li AC

comprehendido entre as reduzidas — e —-, será £ menor que

D O

a differença das duas reduzidas, isto é

1-

2.° O erro que se commetle, tomando uma reduzida qualquer para valor da fracção continua, è menor que a unidade dividida pelo quadrado do denominador d'essa reduzida. A 0

Sejam — e ^ duas reduzidas consecutivas. Designando por

8 o erro que se commetle, tomando — para valor da fracção continua, vimos que é

4<bd'................;<«>■

Além d'isto, como o denominador de uma reduzida é tanto maior, quanto mais elevada for a sua ordem, será D>B. Substi- tuindo portanto em (1) D por B, o segundo membro augmenta, e por isso com mais razão teremos

a<br

333. Por meio d'este ultimo principio podemos determinar a reduzida que convém tomar, para que o erro commettido seja

menor que a unidade fraccionaria —-. Com efíeito, seja — uma

reduzida qualquer. Designando por ^ o erro que se commette, A

tomando — para valor da fracção continua, é

B logo para S ser menor que —basta que seja

j i _

P<~' 011 ^ >n' ou B>

Portanto: para obter o valor de uma grandeza com um erro menor que uma unidade fraccionaria dada, desenvolve-se essa grandeza em fracção continua, e formam se as reduzidas conse- cutivas até chegarmos a uma, cujo denominador seja egual ou maior do que a raiz quadrada do denominador d'essa unidade fraccionaria. Esta reduzida é o valor pedido.

Exemplo: Achar o vedor de t/6 com um erro menor que

°'001=im ._

Desenvolvendo V6 em fracção continua, achamos + 1 ,

4. . .

Ora, como

/TÕ00 — 31, temos de calcular as reduzidas a 16 chegarmos a uma, cujo denominador seja egual ou maior do que 31. As reduzidas são

2 5 22 49 218 T' IP 20' 89 '

218

logo V 6 = —-, com um erro menor que 0,001. 89

333. Uma fracção, que se aproxima mais do valor da fracção continua x, do que uma reduzida qualquer, está comprehendida entre esta reduzida e a antecedente.

Sejam ~ e —- duas reduzidas consecutivas e, por exemplo, B D

< -; e seja — uma fracção que se aproxima mais de oc, do C P

que a reduzida — : digo que a fracção — fica comprehendida

entre as duas reduzidas, isto é, que

A jL Sl

~B<Q<W P A

Porque, se fosse — <—, como o valor de x está coinprehen-

i A C • j C , dido entre as duas reduzidas —— e — e mais perlo de —— do

AP " " A W

que de —, — distaria mais de x do que —, e por conse-

B O Q li

quencia mais do que—, o que é contra a hypothese: se fosse

PC , P P • , i c

— > —, também - distaria mais de x do que —, contra o supposto.

3<£4ã. Uma reduzida qualquer aproxima-se mais do valor da

fracção contínua x, do que outra fracção cujos termos sejam mais

simples do que os seus.

A C P

Sejam — e —- duas reduzidas consecutivas, e —- uma fra- B D (J c

cção que se aproxima mais de x do que a reduzida —. Como

— eslá comprehendido entre as duas reduzidas — e —, será em valor absoluto

A P C_

~Q< B ~TP

AQ —BP 1 Q

BQ < BD' AQ — BP < d *

Ora, sendo AQ e BP dois números inteiros e deseguaes, a sua differença é, pelo menos, egual á unidade; e sendo pelo menos

0

— > 1, será 0 > D. Além d'is'.o, estando — comprehendido entre - e o 0 B 1)

mesmo terá logar em relação ás fracções inversas. Porque, seja

^ _P C B < Q < lí :

í 1 1 B Q D

Ã>p>c' 0U T>7>c- coo

Portanto, teremos em valor absoluto

r»u

V A C

I Hllllili

e sendo bP — AQ, pelo menos, egual á unidade, será P> G. Temos, pois, demonstrado que uma fracção, que se aproxima mais do valor da fracção continua do que uma reduzida qualquer, tem os seus termos maiores do que os d'essa reduzida. D'onde se conclue que uma rednz;da se aprox;ma mais do valor da fracção continua, do que outra fracção, cujos termos sejsm ma;s simples

Esta propriedade das reduzidas mostra bem a vanta- gem das fracções continuas. Pois que, desenvolvendo uma gran- deza em fracção contínua, e formando :a» reduzidas consecutivas, obtemos uma serie de valores cada tez mais- aproximados, e ex- pressas o mais simplesmente possivel em relação ao seu grau de aproximação.

Exemplo. Achar o valor de r. debato da fó>*ma fraccionaria, e tal que nenhum outro quebre do de lermos mais si.nples se apro- xime tanto de m

Desenvolvendo em fracção continua, achámos (n,° 308)

= 7. 15. 1______ 

e formando as reduzidas consecutivas, temos

3 22 333 355 T' 7' 106' Í13' * '

fracções que se aproximam mais de rr do que outro qualquer quebrado de termos mais simples.

A segunda reduzida é o valor de tc achado por Archimedes; e como é de ordem par, é aproxinado por excesso.

A quarta reduzida é o valor achado por Adriano Metius, e é também aproximado por excesso.

33<*. Applicação á analyse indeterminada, Yimos(n.°204) que a diíficuldade que ha em achar as soluções ir.teiías de uma equação do primeiro grau a duas iacogritas se reduz a deter- minar uma das soluções. A theoria das fracções continuas dá-nos um meio muito si iples para i so, como passamos a mostrar. Supponhamos a equação

ax + by = c,

na qual a, b e c são primos entre e também primos entre si os dois coefficientes a e b.

Desenvolvendo — em íracçãc continua e formando as redu-

6 a

zidas consecuWas, a ultima é precifamente a fracção —; porque

a ^

a ultima reduzida t iu-educlivel e egual a —, e dois quenrados

i reduct:veis eguaes têm os termos respectivamente eguaes. a1

Posto isto,, seja r-a penúltima reduzida: subtrahindo da ultima reduz da a penúltima, temos

a a' ab1 — ba1

~b~ í g bV~;

e como o numerador da i.ifferença de duas reduzidas consecutivas é ± 1, será

ab' — ba'=± 1.. tendo logar o signal -f ou o signal —, conforme a ultima redu- zida for de ordem par ou impar.

Multiplicando os dois membros d'esla egualdade por + c no primeiro caso e por — c no segundo, vem

± ab'c ba'c — c :

comparando este resultado com a equação proposta, vemos que ella fica satisfeita pondo

x = rfc: b'c, y—ma'c;

e d'este modo temos a solução inteira procurada.

Este methodo tem o inconveniente de dar para primeira so- lução múltiplos de c, que podem ser números muito grandes. O processo, exposto na analyse indeterminada, conduz quasi sempre a uma solução mais simples.

329. Exemplo. Achar as soluções inteiras da equação 77x— 10% = 815.

- 77

Desenvolvendo —- ern fracção continua, vem

104

^g-o. 1, 2, 1, 5, 1, 3; 104

e formando as reduzidas consecutivas, temos

0 1 2 | 17 20 77

1 ' 7' 3 ' 4' 23" 27' 104' A differença das duas ultimas reduzidas é

77 20 __ 77 x 27 — 104 x 20

104 104x27 '

e como a ultima reduzida é de ordem impar, será

77 x 27—104x20 = —1.

Multiplicando os dois membros d'esta egualdade por — 8IS, vem

77 x 27 x — 815 — 104x 20 x — 815 = 815, e comparando esta egualdade com a equação proposta, vemos que uma solução inteira é

x-

y-

27 x-- 818= — 22005 = 20x —818 = —16300. Portanto, as fórmulas, que dão todas as soluções inteiras, são a = — 22005 + 104t, y = — 16300 + 771.

exercícios

Desenvolver em fracção continua as expressões seguintes :

167

543' 59Õ-

„.. 750 544' 349'

545.

546.

311

99r 549. 9,749. 552. 0,0241.

555. 0,00310031....

KKO & + & + X

a?+2a;2+a+r 561. \/H.

564. 5 + t/íí.

547.

173

613' 550. 5,07. 553. 0,7373.

556. 2,7245638....

559 63m» + i

315m6+9/n3+5m'

562. \ZÍÍ.

l+t/8" 2 '

548.

907' 34729 51436' 551. 0,561. 554. 0,912912....

557.

15a*+l 15a3+6a'

560. ^

24a;3 + 6x

2 4®» +18®»+ 1'

565.

563. y/ÕH-1. 3 + /Í3

566.

Achai' as grandezas geradoras das fracções continuas seguintes:

567. ® = 5, 1, 2, 1, 4, 5. 569. « = 0,5, 7, 9, 11, 13. 571. a; = 3, 1, 1, 4,5, 2, 3. 573. x = 0, 3, 5, 2, 1, l, 1, 2. 575. « = 0, 3, 7, 1, 1, 1, 5, 4, 9. 576. x = 3, 2, 1, 3, 2, 1, ... 577. x = 6, 4, 12, 4, 12,... 578. x = 1, 1, 2, 1, 579. ® = 0, 2, 3, 2, 3,.... 581. x = 3, 1, 1,6, 1, 1,6,....

568. «==0, 13, 11, 9, 7, 5. 570. ® = 0, 1, 3, 5, 7, 9, 11. 572. « = 0, 3, 1, 1, 5, 3, 1, 3. 574. x= 0, 1, 2, 12, 1, 2, 2, 2, 3, % 9.

580. a; = 5, 5, 10, 5, 10,... 582. x = %\, 3, 5, 3, 5,----

583. Calcular, por meio das fracções continuas, o valor de — '-4-— com um erro menor do que 0,0001. " á

584. Achar o valor da base neperiana e debaixo da fórma fraccionaria, e tal que nenhum outro quebrado de termos mais simples se aproxime tanto de e; e calcular o erro da aproximação.