Tratado de Algebra Elementar/Livro 5/Capítulo 1

by José Adelino Serrasqueiro

645. Qual é a annuidade que se deve pagar annualmente para amortizar uma divida de 1:960*00© rs. em 15 annos, sendo o juro a 5,5%? (195! 206).

646. Durante que annos se deve pagar a annuidade de 90$000 réis para amortizar uma divida de 920(8000 rs. com os juros de 5,6%? (15 annos).

647. Uma divida de 920$000 réis amortiza-se em 15 annos com a an- nuidade 90$000 réis. Qual é a taxa do juro? (5,6).

648. Um industrial contrahiu uma divida de 10:000^000 réis, que vence juros compostos de 5% ao anno; e empregou aquella quantia em uina em- presa que lhe dá por anno um lucro liquido de 1:200$000 réis. Applicando este lucro ao pagamento da divida, em quantos annos estará esta amorti- zada? (11).

649. Um fumador gasta por més 31000 réis em tabaco. Se collocasse, no principio de cada anno, a juros compostos de 5% a quantia que em- prega em tabaco por anno, quanto teria no fim dc 30 annos? 2:511$356).

650. Um individuo colloca no principio de cada anno 600$000 réis a juros compostos de 4% ao anno. No fim de quantos annos terá 7:491 $743 réis? (10).

651. Um individuo colloca no principio de cada anno 757$192 réis a juros compostos, e no fim de 10 annos tem formado um capital de réis 10:000^000. Qual foi a taxa? (5%). LIVRO QIUJNTO

DETERMINANTES. SUA APPLICAÇÃO Á RESOLUÇÃO E DISCUSSÃO DAS EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU

CAPITULO I Theoria elementar dos determinantes

§ 1.° Definições e princípios geraes

3G9. As quantidades, que entram nas permutações, cha- mam-se elementos da permutação; e podem ser representadas por letras differentes, ou pela mesma letra affectada de Índices dif- ferentes.

Quando os elementos são representados por letras differentes, podemos numa permutação qualquer comparar cada letra com cada uma das seguintes; e"diz-se que duas letras formam um desarranjo ou uma inversão, quando se acham dispostas em ordem contraria á ordem alphabetica; e que numa permutação ha tantas inversões, quantos são os systemas de duas letras, que satisfazem áquella condição. Assim, na permutação adcb ha tres inversões: dc, db, cb.

Quando os elementos são representados pela mesma letra af- fectada de Índices differentes, diz-se que dois elementos formam lima inversão, quando o primeiro indice é maior que o segundo. Assim, na permutação a% «3 «1, ha duas inversões: a% a\> asal-

As permutações, que contém um numero par de inversões, chamam-se permutações pares ou de primeira classe; e as que contêm um numero impar de inversões, chamam-se permutações impares ou de segunda classe.

390. Uma permutação muda de classe, quando se trocam entre d duas letras ou dois Índices. Supponhamos as duas permu- tações

Aav Baq C Aa(j Ba?) C

que differem pela troca dos Índices p e q, e nas quaes A, B e C representam as partes communs.

Os índices dos elementos, contidos em A e C, conservam nos dois grupos a mesma ordem de grandeza em relação a p e q; e por consequencia a differença dos números de inversões nos dois grupos é a mesma que em

av Ba aq BOp .

Procuremos o numero de inversões no primeiro grupo. Para isso, seja p>q; Pi o numero de Índices de B inferiores a p; Pa o numero de Índices de B comprehendidos entre p e q; (ig o numero de índices superiores a q. Comparando p com cada um dos índices de B inferiores a p, temos Pi inversões; e comparando corn q cada um dos Índices de B superiores a q, temos p3 inver- sões. Portanto o numero de inversões do primeiro grupo é Pi +- Pg.

Procuremos agora o numero de inversões do segundo grupo. Comparando p com q e com cada um dos Índices de B inferiores a p, temos pj + 1 inversões; comparando q com cada um dos índices de B comprehendidos entre p e q, temos fa inversões; comparando com p cada um d'estes mesmos índices, temos tam- bém pa inversões; e comparando com p cada um dos índices de B superiores a q, temos P«j inversões. Logo o numero de inver- sões do segundo grupo 6 pj 4- 2pg + fts + 1; e a differença dos dois números de inversões é 2p2 + 1, que é um numero impar. Portanto as duas permutações, differindo em um numero impar de inversões, pertencem a classes differentes.

D'este principio conclue-se que:

1Nas permutações de n objectos, ha tantas de primeira classe como de segunda. Porque a cada permutação corresponde sempre uma outra, que se deriva cVella pela troca de dois índices.

2.° Duas permutações, que dijferem entre si por um numero par de trocas de dois Índices, pertencem á mesma classe.

3.° Duas permutações, que differem entre si por um numero impar de trocas de dois Índices, pertencem a classes differentes. 351. Definição dos determinantes. Supponhamos n4 quan- tidades ou elementos, dispostos em n linhas horizontaes e em n columnas verticaes:

«1 Cl .... [y

«z h ■■■■ h

«3 c3----h

(In &11 C»1 • . . . lt}•

Cada letra é affectada de um indice; o indice designa a linha, e a letra designa a columna a que o elemento pertence. Assim í/3 é um elemento da terceira linha e da quarta columna. Posto isto:

Determinante de ri1 objectos é a somma algébrica de todos os productos obtidos com esses objectos, tomados n a n, de modo que cada producto contenha um elemento de cada linha ou co- lumna e não contenha mais do que um; e de modo que cada producto tenha o signal + ou o signal—, conforme as permuta- ções das letras e dos Índices forem da mesma ou differente classe.

3§8. Lei ãe formação de um determinante. Para desenvolver um determinante, multiplicam-se os elementos da diagonal, que parte do primeiro para o ultimo elemento: o producto a\ bic$...ln ê o primeiro termo, ou o termo principal do determinante. De- pois, permutando de todos os modos possíveis as letras sem tocar nos índices, obtemos todos os outros termos do determinante, que se devem tomar com o signal■+ ou com o signal—, segundo a permutação das letras for de primeira ou de segunda classe.

Os termos, assim obtidos, evidentemente contêm um só ele- mento de cada linha ou columna; porque qualquer d'elles contém sómente uma vez cada letra e sómente uma vez cada indice.

Além d'isto os termos, assim obtidos, têm tainbem os signaes determinados pela definição. Porque, considerando um termo obtido pela definição, como a ordem dos factores ê arbitraria, podemos, sem alterar o signal do termo, escrever os seus ele- mentos de modo que os Índices tenham a ordem numérica 1, % 3,... .n. Então estes Índices formam urna permutação de pri- meira classe; e por consequência o termo será positivo ou nega- tivo, conforme a permutação das letras for de primeira ou de segunda classe. 3? 3. Notações dos determinantes. A notação geralmente ado- ptada, para representar um determinante, consiste em encerrar entre dois traços verticaes o quadro dos seus elementos, ou o seu termo principal; ou então em preceder o termo principal da letra 1 seguida do duplo signal Assim, designando por A um determinante de ns elementos, temos

«i Ci

«2 thí Cz

a3 b3 Ci

Cln bn Cn ■ « • - In

= I «i b2 c3.. ./„ ] = S-£ «1 b2 c3.. ,ln

394. O numero dos termos de um determinante de n- ele- mentos em virtude da lei de sua formação, é egual ao numero de permutações de n objectos.

315. Grau de um determinante é o numero de factores de cada um dos seus termos.

Um determinante do grau n é um polynomio homogeneo do grau n em relação a todos os elementos, e do primeiro grau em relação a cada um d'elles.

37B. Da lei de formação de um determinante, conclue-se que: para formar um determinante do segundo grau, do producto dos elementos da diagonal, que vae do primeiro ao ultimo elemento, subtrahe-se o producto dos elementos da outra diagonal. Assim

«i h

«2 bz

= «| b;í-t>i a-,,

3 2 S 4

^3.4 — 2.5

2.p Para desenvolver um determinante do terceiro grau, mais facilmente do que pela lei de formação, ha a seguinte

Regra de Sarros. A direita da terceira cotumna escrevem-se as duas primeiras:

«i bi Ci

a2 bz cz «3 b3 c3

«1 bt Cy fl( bi

% bz c2 az b2 ih h c3 a-i b3

multiplicam-se os elementos dispostos tres a tres em diagonal; e tomam-se com o seu signal os productos dos elementos das diagonaes que descem da esquerda para a direita, e com o signal contrario os productos dos elementos das outras diagonaes. Exemplos «i bt c,i

«2 Ih Ci

a3 h c3

7

' = — 27 — 60 + 224 + 42 + 120 — 72 = 227.

• «1 b2 C3 + bi CZ «3 + Cl «2 b3-«3 fc2 Cl-('2 «1-C3 fl2 6l.

3

4 — 6

1 —5 8 -9

339. l.° Em logar de representar os elementos de uru deter- minante por letras differentes affectadas de um só indice, podemos represental-os pela mesma letra affectada de dois Índices conse- cutivos, indicando o primeiro a linha e o segundo a columna do elemento. Assim o determinante do terceiro grau representa-se do seguinte modo:

«11 «12 «13

«21 «22 «23 «31 «32 «33

2.° Em logar de escrever os Índices consecutivos, podemos escrever o segundo indice em expoente, e então o indice inferior indica a linha e o superior indica a columna do elemento. Em- pregando esta notação de Índices sobrepostos, o determinante do terceiro grau serã assim representado:

fln Ctn

§ 2.° Propriedades geraes dos determinantes

3 JS. Um determinante não se altera, quando se trocam as linhas em edumnas e as columnas em linhas. Porque, feita a mu- dança, a diagonal do quadrado dos elementos é a mesma nos dois determinantes; logo estes, tendo o mesmo termo principal, são idênticos em virtude da lei de sua formação. Assim

5 4 3 5 2 3 2 9 7 = 4 9 1 3 ■1 2 3 7 2 3S9. Quando, num determinante, se trocam duas linhas ou duas columnas, o valor do determinante muda de signal, isto ê, fica multiplicado por — 1. Porque, trocando entre si duas linhas, troca-se em cada termo dois Índices: logo cada termo muda de signal (n.° 370), e o mesmo tem logar em relação ao valor do determinante. Assim

3 2 5 4 1 3 1 4 3 4 1 3 3 2 5 = 2 3 5 2 7 1 2 7 1 7 2 1

Por mudanças convenientes de linhas e columnas, podemos sempre fazer com que um termo qualquer occupe o primeiro logar.

380. Quando, num determinante, se faz occupar o primeiro logar a um termo qualquer, da columna p e da linha q por exem- plo, o determinante fica multiplicado por (— l)H-ç, isto é, o deter- minante conserva o seu signal ou muda de signal, segundo a somma das ordens da linha e da columna d'esse elemento for par ou im- par. Supponhamos o determinante

a i . .ki... .Z, az h- a, b • }Cq . . . .Ia Cln bn.. . - kn.«../},

Trocando a linha q successivamente com cada uma das ante- cedentes até lhe fazer occupar a primeira linha, por cada vez o determinante fica multiplicado por—1 ; e como o numero das trocas é q — 1, o determinante fica multiplicado por (—t)®-1; e temos

llç b, . . . Jiq . fc, .. ■• h ... h A=(—l)?-1 «2 bz .. k-> . ... lz Cln bn ■■ ■ . kn ■ ... l<

Posto isto, seja p a ordem da columna k: trocando a columna k com cada uma das antecedentes até lhe fazer occupar a pri- meira columna, como o numero das trocas é p—1, o determinante fica multiplicado por (—1)p-1; e como

(-1) ff-1. (-1)2>-1 = (—1 jP fff-2 = (-1) P+ff : (_1)2 =,(_!)v+q

será

tiq (Xq b m ... lq

fcl «1 bi .... ll

fc2 ãZ h----l2

kn d n bn ... . In

381. Um determinante ê nullo, quando tem duas linhas ou duas columnas idênticas. Seja A um determinante que tem duas linhas idênticas; trocando estas duas linhas, o determinante muda de signai; mas, sendo idênticas as linhas trocadas, o determinante fica evidentemente o mesmo; e por isso será

A = — A, donde 2A = 0, ou A = 0.

388. l.° Um determinante é do primeiro grau em relação aos elementos de uma linha ou de tima columna. Porque, por defini- ção, um termo qualquer d'um determinante contém sómente um elemento de cada linha ou columna.

2.° Um determinante pode desenvolver-se segundo os elementos de uma.linha ou columna. Supponhamos o determinante

A=

a i fci c(----/i

«2 C%____ l-i

aq br,

....la

Cln thi Cn • • » • In

Considerando por exemplo a linha q, ha no determinante um certo numero de termos que contêm o elemento aq, outros que contêip o elemento hq,... . Pondo nos primeiros aq em factor, nos segundos bq, e fazendo o mesmo em relação aos termos que contêm os elementos cqt. . . ,lq, podemos dar ao determinante a fórma seguinte:

= A aq + B lq

-f Ccq -f Llq;

sendo A, B, C. .. coefficientes que não contêm o elemento, que cada um d'elles multiplica. 383. Multiplicando ou dividindo lodos os elementos de uma linha ou de uma columna pelo mesmo numero, o valor do deter- minante fca multiplicado ou dividido por esse numero.

Ordenando um determinante A em relação aos elementos da linha q, temos

A = Aaq + Bbq+Ccq +.....

Multiplicando, no determinante A, todos os elementos da linha q por N, resulta um novo determinante A' que se pode escrever

A' = NA aq + mbq +'NC cq +____

=={Kaq + Bbq + Ccq + . . .) N = A.N.

384. Do theorema antecedente conclue-se que:

1.® l)m determinante não se altera, quando todos os elementos de uma linha ou de uma columna se multiplicam ou dividem pelo mesmo numero, comtanlo que se divida ou multiplique o determi- nante pelo mesmo numero. Assim

4 3 2 2 1 2 35 56 63 7 14 7 6 9 1 = 6 3 3 1 75 84 18 = 180 15 21 2 8 12 4 4 4 4 60 64 54 12 16 6

2.° Um determinante muda de signal, quando se trocam os signaes a todos os elementos de uma linha ou de uma columna. Porque esta troca equivale a multiplicar esses elementos por — í. Assim

4 —5

5 7

6 2

- 4

5

6

3.° Um determinante pode Iransformar-se noutro, em que os elementos de uma linha ou de uma columna sejam substituídos pela unidade. Supponhamos o determinante * •

6 4 3 2 5 7 6 1 9

O menor múltiplo commum de 6, 4 e 3 é 12. Dividindo 12 por cada um d'estes números, e multiplicando cada columna pelo quociente respectivo, para que o determinante se não altere, temos de o dividir pelo producto dos mesmos quocientes; e vem

6 4 3 » 12 12 12 A 1 1 1 2 5 7 1 =24 4 15 28 = (n.° 384, = T 4 15 28 6 1 9 12 3 36 A 22 3 36

38S. Um determinante ê nullo, quando os elementos de duas linhas ou columnas differem sómente por um factor constante. Porque

a da e b db f c dc g

(n.° 384, 1.°) = d.

a a e b b f c c g

= (n.° 381) = 0.

3.° Determinantes menores

3 8 O. Determinante meruyr de um determinante dado é o de- terminante que resulta de snpprimirmos nelle uma ou mais linhas e o m,esmo numero de columnas.

Determinante menor de primeira ordem é o que resulta de sup- primirmos uma linha e uma columna; e este determinante é do grau n — 1.

Em geral, determinante menor da ordem r é o que se obtém, supprimindo no determinante considerado r linhas e r columnas; e este determinante é do grau n — r.

Quando os elementos de um determinante são representados por letras differentes affectadas de um só indice, um determinante menor representa-se pela letra maiuscula que indica a columna supprimida, affectada do indice que indica a linha supprimida. D'este modo, C4 representa o determinante menor que resulta da suppressSo da quarta linha e da terceira columna.

Quando os elementos se representam pela mesma letra a affe- ctada de.dois Índices, um determinante menor representa-se pela letra A affectada de dois Índices, que jndicam a linha e a columna supprimida. Assim, A| representa o determinante menor que resulta de se supprimir a terceira linha e a segunda columna.

38®. Se, num determinante, lodos os elementos de uma linha ou de uma columna são nullos excepto um, o determinante è egual ao producto d'esse elemento pela determinante menor que se obtém, supprimindo a linha e a columna d'esse elemento; e com o signal + ou—, conforme a somma dcs ordens da Unha e da columna do mesmo eiemento for par ou impar. Supponhamos que num deter- minante A são nullos todos os elementos da linha q, excepto kq: teremos

A=

jfe h kt.. .. 1, «2 b. .. lz 0 0 . ..k .. 0 0» bn • . . k„ . . .. In

Designando por p a o,*dem da columra k, e transportando o elemento kf pcra o primeiro Jogar, temos (n.° 380)

kq 0 0 .... 0

lei aj fcj .. . Zj

Ih a-, b-i .... 1%

/i"ij Cln bn ....

Ordenando o determinante em relação aos elementos da pri- meira linha, como todos os elementos d'esta linha são nullos, excepto o primeiro, o determinante reduz-se a

A=(—í )/<+«. A V

Resta agora determi íar A. Tare. isso, temos que os termos do determinante, que contêm o elemento kq, não contêm nenhum outro elemento da linha e da columna em que existe kq: logo, nestes termos, k(J deve multiplicar todos os productos de n—1 elementos escolhidos nas outras linhas e colamnas, isto é, esco- lhidos em

«i h .... h bz .. . h a3 bd ...

(Xn Ml .... In.

Ora estes productos formam precisamente o determinante me- nor, que se obtém supprimir.do no determinante pronosto a linha e a columna do elemento kq; e por consequencia é

é A =

A = F

ff'

.(_!JH-fl.ftj K

v Exemplo:

3 2 5 & 6 i 0 9 0

= — 9

3 5

4 1

388. Do theorema antecedente conclue-se que:

1.° Um determinante tem um valor nullo, quando todos os ele- mentos de uma linha ou de uma columna são mdlos. Porque então a fórmula antecedente dá a = 0.

2." Quando lodos os elementos situados de um lado da diagonal são nullos, o determinante reduz-se ao seu termo principal. Pelo theorema antecedente temos

«i &i Ci di

0 h2 c-> d%

0 0 c3 d3

0 0 0 dÁ

«t

b2 cz <k 0 c3 d3 0 0 dt

■ aibz

c3 <h 0 dt

= «í h c3 dj.

38B. Um determinante qualquer é egual á somma algébrica dos productos que se obtém, multiplicando cada elemento de uma linha ou de uma columna pelo menor correspondente; e o signal de cada producto é + ou —, conforme for par ou impar a somma das ordens da linha e da columna em que está o elemento consi- derado. Supponhamos o determinante

A=

ai bi .... kt

o2 bz----7c2

a» 6o .

■bn

. • liq . . • lq

• . fcn ■•■</»

ou, ordenando-o em relação aos elementos da linha q, & = kaq + Bbq +____-f N kq +____+ P lq.

Vamos demonstrar que o coefficiente de um termo qualquer, por exemplo N, é o determinante menor correspondente a kq„ com o .signal -f ou —, conforme p + q for par ou impar.

O coefficiente N não contém o elemento kq, nem nenhum ele- mento da linha q; e por isso podemos dar a estes elementos os valores que quizermos, sem alterar o valor de N. Fazendo pois na egualdade antecedente kq—1, e cada um dos outros elementos da linha q egual a zero, achamos que N é egual ao resultado que se obtém, introduzindo em A estas hypotheses, isto é,

N=

6,____ki----li

b2____fc2----li

0 ....í ....o

b„----kn. .../„

= (11.° 887) = (—!)"+«

ai bt . .. k

«2 h----h

(In bn - - • ■ In

390. Esta propriedade fornece-nos o processo para calcular um determinante sem o emprego das permutações. Para isso:

Desenvolvesse o determinante nos menores correspondentes aos elementos de uma linha ou de uma columna; desenvolve-se cada um d'estes nos seus menores, e assim por deante. Exemplos:

3 4

6 — 1 9 4

= 3

— 1

4—3

— 6

+ 9

4 S — 1 2

5 - —10 - 11 0

+ 11

+ 20 — 121

11 12 -11

-10 11

12

4 2 -

— 10 11 — 11 12 4 1

12 —11

= — 15 + 192 + 117 = 294. 0

=5

0 4

— 6

— 100

— 11 12- 4

= — 55

-11 2

2—6

+ 10

— 10

12. 4

11

-11

2

— 11

-60

12 4

-11 2

2 -6

-110

12 4-

-110

1 — 11 4 I 4 —6

= 8100.

391. Quando se multiplicam os elementos de uma linha ou de uma columna pelos determinantes menores correspondentes aos ele- mentos de outra linha ou columna, o determinante resiãtante é nullo. Supponhamos um determinante ordenado em relação aos elementos de uma linha:

«i bt Ci di

a-, bz c-i dz

«3 h c3 rf:t

«4 64 C4 C?4

= A1«, + B161 + C1CI+D1Í!1. Substituindo os elementos da primeira linha pelos da segunda vem

a2 t>2 Cg dt

<h h Cz d2

«3 l>i c3 d-i

«4 6í C/t <!/,

= A, a2+ B, bz + Ct c2+ Dt dz = (n.° 381) = 0.

| 4.° Decomposição dos determinantes de elementos polynomicos. Propriedades dos determinantes relativas á somma o vi subtracção de linhas ou columnas.

392. Se os elementos de uma linha ou de uma columna são polynomios compostos do mesmo numero de lermos, o determinante pode decompor-se na somma de determinantes de elementos simples. Estes determinantes formam-se associando respectivamente os dif- ferentes termos dos elementos compostos com os elementos das outras linhas ou columnas simples. Supponhamos o determinante

«i + fci h ct.. ■■k «2 + h h Cf. ■h A = «3 + h b3 c3.. ■■h a„ -f- !,'„ bn Cn . - ■■In

Desenvolvendo o determinante em relação aos elementos da columna composta, vem

A=Á| (aj + A"t) + Aç> (a2 + /<■<>) + A3 (a3 + +... +A„ (an + kn) _( Ai aj + Aa«i2 + Ag a3 + . .. .+Anan \+ A\ ki + A^kz + A$ka +.... +An kn.

A primeira linha d'este resultado é o determinante que se obtém, substituindo em A a columna composta por ai,a$. . .an; e a segunda linha é o determinante que se obtém, substituindo em A a columna composta por k\, . .kn. Temos pois

A =

bi Ct-...Z,

a2 b2 Cz- ■.

«3 h c3----Z3

íIn b„ cK----Z„

+

h f> i fci b2 h 3 h

c,

cs----fe

C3....13

Cn. . . An 393. O valor de um determinante nãò se altera, quando aos elementos de uma linha ou de uma columna se ajunctam os ele- mentos de outras linhas ou columnas, respectivamente multiplicados por factores constantes. Temos (n.° 392)

«1 -f- mbt -f- 7cc( bi Cl o, b, Cl mhi 6, c, ki bi ci Os, -f- rnbi + fcfs 62 Cz = «2 62 c2 + mb2 h f2 + h h Cz «a + mb3 + kc3 63 c3 «3 b3 c3 mh3 h C3 k3 b3 c3

Como os dois últimos determinantes são nullos por terem duas columnas que differem sómerite por um factor constante, resulta

«i bt Ci | a, + mby -{- fcct fct c, th b3 fj, j = -{- mhi -f- kc2 b-2 c2 . <h h-i c3 | ai + mb3 + kc3 b3 c3

CoROLLAitio. O valor de um determinante não se altera, quando dos elementos de uma linha ou columna se suòtrahem os elementos de outra linha ou columna, multiplicados por um factor constante. Porque podemos aos elementos de uma linha ajunctar os elementos de outra linha multiplicados por um factor negativo, o que equi- vale a subtrahir.

394. A propriedade relativa ô somma ou subtracção de li- nhas ou columnas fornece o processo mais simples para calcular um determinante. Para isso:

Por meio de somma s ou subtracções successivas, reduzem-se a zero todos os elementos de uma linha ou columna, excepto um; e assim fica o determinante reduzido a um menor. Do mesmo modo reduz-se este a outro menor, e assim por diante até se chegar a um menor do segundo grau. Exemplos:

4 2 9 3 8 5

5 5 4 7 3 9

1 5

1

2 7 11

2

0 0 1 3—1 2 -2-9 7 — 2 —10 1 4 7 2 —13 —19 0

— 1

— 9

= —'20.

6

•9 10 11 12 13 14 15 16

2 3 4 4 10 H

2—10 1 8 27 0 — 13 — 19 0 4

8 37 13 — 19

4 4

4 12 4 4

= (n.° 381) =0.