Na hypothese de produzir a fracção ordinaria uma dizima periódica, facilmente se reconhece se essa dizima é simples ou composta, estabelecendo os princípios seguintes :
167. 1? Principio—Se o denominador ãe uma fracção ordinaria ir-reãuetivel ~ não contiver o factor 2 nem o factor 5, essa fracção produz
uma dizima periódica simples.
Demonstração.—A fracção ~ convertida em decimal não pôde produzir uma fracção decimal de numero limitado de algarismos, nem também uma dizima periódica composta, porque se a dizima periódica fosse composta, se converteria em uma fracção ordinaria tendo para denominador um numero formado de noves seguidos de zeros, e teríamos, por exemplo
a _ c
reduzindo a fracção ^ á sua expressão mais simples, se dos factores 2 e 5 eliminar-se um, ficará o outro. Suppondo que fique o factor 2, resulta
a _ n
dX2
sendo irreductiveis as duas fracções — e —— teremos ( n. 113 )
b aX2
a=n b=dX2
D'onde se segue que o denominador b tem o factor 2, o que é contra a hypothese.
Se a fracção — não produz fracção decimal de numero limitado de algarismos, nem dizima periódica composta, produz necessariamente uma dizima periódica simples.
168. 2? Principio.—Se o denominador ãe uma fracção ordinaria irreãuctivel — contiver factores primos ãifferentes ãe 2 e õ e juntamente um ã'esses factores ou ambos, essa fracção produz uma dizima periódica composta.
Demonstração.—A fracção decimal correspondente á fracção ordinaria não pôde ter numero limitado de algarismos, nem também ser dizima periódica simples ; porque se ella fosse dizima periódica sim-
