Com effeito, R' dividindo R, dividirá RQ', e como R' divide a si mesmo, fica dividindo as parcellas de uma somma, e portanto divide a somma B; dividindo B, divide BQ, e como por hypothese divide R, torna a dividir as parcellas de uma somma (igualdade n. 1) e portanto divide a somma A; mas dividindo A e B é divisor commum aos dous números dados. É o maior, porque se um numero maior que R' dividisse A e B, dividindo, B tinlia de dividir BQ, e por dividir A e BQ ficava dividindo uma àomma composta de duas parcellas e uma d'ellas, portanto tinha de dividir a outra parcella R; dividindo R, tinha de dividir RQ', « como por hypothese divide B, torna de novo a dividir a uma somma composta de duas parcellas e a uma d'ellas, portanto tem de dividir a outra parcella R' ; mas um numero maior que R' não pôde dividir exactamente R' ; por consequência o maior divisor commum procurado não pôde exceder de R'. Será R', se R' dividir a R.
Suppondo queda divisão de R por R', a parte inteira do quociente seja Q" e o resto da divisão R", resultará a igualdade (3) R=R'Q"+R"
Raciocinando do mesmo modo se concluirá a seguinte
Regra.—Diviãe-se o maior numero pelo menor. Se a ãivisão fôr exacta, o menor numero será o maior ãivisor commum. Se houver resto, ãiviãe-se o menor numero pelo resto; se houver um segunão resto, ãiviãe-se o primeiro resto pelo segunão, e assim por ãiante até não haver mais resto. O ultimo ãivisor ou o ultimo resto ê o maior ãivisor commum.
Exemplo:
Achar o divisor commum aos números 4896 e 872.
5 1 1 1 1 2 8
4896 872 536 336 200 136 ~64 ~8 536 336 200|136 64[ 8 0
G numero 8 é o maior divisor commum aos dous números.
85. Considerando as igualdades achadas no numero precedente
A=BQ +R B=RQ' +R' R=R'Q"+R"
e suppondo que um numero D divide A e B, esse numero dividirá R, R' eR".
