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O artigo fundador da teoria da relatividade restrita

O.F. Piattella

de $x',y,z$ e $t$ . Para este propósito temos que expressar nas equações que $(\tau )$ não é outra coisa que a incarnação dos dados dos relógios em repouso no sistema $k$ , que têm sido sincronizados de acordo com a regra dada no § 1.

Seja enviado da origem do sistema $k$ um raio de luz no tempo $\tau _{0}$ ao longo do eixo $X$ para $x'$ e de lá no tempo $\tau _{1}$ refletido para a origem das coordenadas, onde chega no tempo $\tau _{2}$ ; então tem que ser que:

{\frac {1}{2}}(\tau _{0}+\tau _{2})=\tau _{1}

(6)

ou, incluindo os argumentos da função $(/tau)$ e usando o princípio da constância da velocidade da luz no sistema de repouso:

{\frac {1}{2}}\left[\tau (0,\ 0,\ 0,\ t)+\tau \left(0,\ 0,\ 0,\ \left\{t+{\frac {x'}{V-v}}+{\frac {x'}{V+v}}\right\}\right)\right]=\tau \left(x',\ 0,\ 0,\ t+{\frac {x'}{V-v}}\right)

.

(7)

Daqui segue, escolhendo $x'$ indefinidamente pequeno:

{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{V-v}}+{\frac {1}{V+v}}\right){\frac {\partial \tau }{\partial t}}={\frac {\partial \tau }{\partial x'}}+{\frac {1}{V-v}}{\frac {\partial \tau }{\partial t}}

,

(8)

ou

{\frac {\partial \tau }{\partial x'}}+{\frac {v}{V^{2}-v^{2}}}{\frac {\partial \tau }{\partial t}}=0

.

(9)

Tem que ser ressaltado que em lugar da origem das coordenadas poderíamos ter escolhido qualquer outro ponto como ponto de saída do raio de luz e, por isso, a equação agora obtida vale para todos os valores de $x',y,z$ .

Um raciocínio análogo - aplicado aos eixos $H$ e $Z$ - resulta, considerando que a luz observada do sistema de repouso propaga-se ao longo destes eixos sempre com a velocidade ${\sqrt {V^{2}-v^{2}}}$ , em:

{\frac {\partial \tau }{\partial y}}=0

(10)

{\frac {\partial \tau }{\partial z}}=0

(11)

Como $(\tau )$ pe uma função linear, segue dessas equações que:

\tau =a\left(t-{\frac {v}{V^{2}-v^{2}}}x'\right)

.

(12)

onde $a$ é uma função $\varphi (v)$ por enquanto desconhecida e, por brevidade, é assumido que na origem de $k$ para $\tau$ 0 seja $t$ = 0.

Com a ajuda deste resultado é fácil determinar as quantidades ξ, η, ζ expressando em equações que a luz, medida no sistema em movimento, também propaga-se com velocidade $V$ (como requer o princípio da constância da velocidade da luz em concomitância com o princípio de relatividade). Para um raio de luz emitido no tempo $(\tau )$ = 0 na direção de crescente vale: