Página:O artigo fundador da teoria da relatividade restrita.pdf/7

O artigo fundador da teoria da relatividade restrita

O.F. Piattella

Inserimos este valor de $t$ na equação para $\xi$ e obtemos então:

$\xi =a{\frac {V^{2}}{V^{2}-v^{2}}}x'$.

(16)

Da mesma forma, encontramos através a análise de raios de luz que se movimentam ao longo de ambos os outros eixos:

$\eta =V\tau =aV\left(t-{\frac {v}{V^{2}-v^{2}}}x'\right)$,

(17)

onde

${\frac {y}{\sqrt {V^{2}-v^{2}}}}=t\;;\;\;x'=0\;;$

(18)

então

$\eta =a{\frac {V}{\sqrt {V^{2}-v^{2}}}}y$

(19)

e

$\zeta =a{\frac {V}{\sqrt {V^{2}-v^{2}}}}z$

(20)

Substituímos para e' o seu valor, assim obtemos:

$\tau =\varphi (v)\beta \left(t-{\frac {v}{V^{2}}}x\right)$,

(21)

$\xi =\varphi (v)\beta (x-vt)$,

(22)

$\eta =\varphi (v)y$,

(23)

$\zeta =\varphi (v)z$,

(24)

onde

$\beta ={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}$

(25)

e $\xi$ é uma função de u por enquanto desconhecida. Não fazendo nenhuma hipótese sobre a posição inicial do sistema em movimento e sobre o ponto zero de $\tau$, teria-se então que acrescentar a cada lado direito destas equações uma constante aditiva.

Temos agora que provar que cada raio de luz, medido no sistema em movimento, propaga-se com velocidade $V$, caso isso aconteça no sistema de repouso, como temos postulado; de fato, não temos ainda fornecido a prova que o princípio da constância da velocidade da luz é compatível com o princípio de relatividade.

No tempo $t=\tau =O$ seja enviado da origem das coordenadas de ambos os sistemas, que neste tempo coincidem, uma onda esférica que propaga-se no sistema $K$ com a velocidade $V$. Se ($x,y,z$) é um ponto que acaba de ser alcançado por esta onda, então tem-se

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=V^{2}t^{2}$

(26)

Transformamos esta equação com a ajuda das nossas equações de transformação e obtemos, após um cálculo simples:

$\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=V^{2}\tau ^{2}$

(27)

A onda considerada é então uma onda esférica com velocidade de propagação $V$ também quando observada no sistema em movimento. Portanto, é mostrado que ambos os nossos princípios fundamentais são compatíveis um com outro.

Nas equações de transformação desenvolvidas aparece ainda uma função desconhecida $\xi$ de $v$ que queremos agora determinar.

Introduzimos para este escopo ainda um terceiro sistema de coordenadas $K'$ que seja concebido em movimento translacional paralelo ao eixo $E$ do sistema $k$ de tal forma que a origem das coordenadas

Cadernos de Astronomia, vol. 1, n°1, 157-176 (2020)

163