3flS. 1.° Uma quantidade incommensuravel, desenvolvida em fracção continua, produz uma fracção continua illimitada.
Porque, se esta fosse limitada, a ultima reduzida representaria exactamente a quantidade geradora, a qual por consequência seria commensuravel.
2.° Reciprocamente: Uma fracção continua illimitada cones- ponde a uma quantidade incommensuravel.
Porque, se esta fosse commensuravel, o seu desenvolvimento
seria uma fracção continua limitada, contra a hypothese.
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§ 4.° fiopricdadc.s das reduzidas
316. A differença entre duas reduzidas consecutivas é egual a um quebrado que tem por numerador ± 1, e por denominador o producto dos denominadores das duas reduzidas: tendo logar o signal +, quando a reduzida que serve de diminuendo for de ordem par; e o signal —, quando for de ordem impar.
Supponhamos a fracção continua
X — a, b, c, d,.. > .
A C E
Sejam —, —, — tres reduzidas consecutivas, e seja p o quo- ciente incompleto que corresponde á terceira: será
E Cp 4 A F ~Dp + B'
Subtrahindo cada reduzida da seguinte, vem
C A__BC —AD
í) li BD •
E C + A C ..JAÓ —BC_AEfr—BC F U ~" Df + B D (Dp + BjD — DF 5
d'onde se vê que os numeradores de duas differenças consecutivas são eguaes e de signaes contrários, e que o denominador de cada differença é o producto dos denominadores das duas reduzidas consideradas.
