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Einstein e sua famosa fórmula $E=mc^{2}$

O. F. Piatella

energia do corpo após a emissão da luz, medida em relação ao sistema ($x,y,z$) [respectivamente em relação ao sistema ($\xi ,\eta ,\zeta$)]. Assim obtemos, através o uso da relação dada acima:

$E_{0}=E_{1}+\left[{\tfrac {L}{2}}+{\tfrac {L}{2}}\right]$,

(2)

$H_{0}=H_{1}+\left[{\frac {L}{2}}{\frac {1-{\frac {v}{V}}\cos \varphi }{\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}+{\frac {L}{2}}{\frac {1+{\frac {v}{V}}\cos \varphi }{\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}\right]=H_{1}+{\frac {L}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}$.

(3)

Por subtração, obtemos a partir dessas equações:

$(H_{0}-E_{0})-(H_{1}-E_{1})=L\left\{{\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}-1\right\}$.

(4)

Ambas as diferenças de $H-E$ que aparecem nesta expressão têm significados físicos simples. $H$ e $E$ são valores de energia do mesmo corpo, referindo-se a dois sistemas de coordenadas em movimento relativo um em relação ao outro, enquanto o corpo permanece em repouso em um dos dois sistemas [o ($x,y,z$)]. É portanto claro que a diferença $H-E$ pode diferir da energia cinética do corpo referida ao outro sistema [o sistema ($\xi ,\eta ,\zeta$)] apenas por uma constante aditiva $C$, que depende da escolha da constante aditiva arbitrária das energias $E$ e $H$. Podemos, portanto, estabelecer:^[1]

$H_{0}-E_{0}=K_{0}+C$,

(5)

$H_{1}-E_{1}=K_{1}+C$,

(6)

já que $C$ não muda durante a emissão de luz. Então, tempos:

$K_{0}-K_{1}=L\left\{{\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}-1\right\}$.

(7)

A energia cinética do corpo em relação a ($\xi ,\eta ,\zeta$) diminui devido à emissão de luz, e de uma quantidade que não depende em nada das características do corpo. Além disso, a diferença $K_{0}-K_{1}$ depende da velocidade da mesma forma que a energia cinética do elétron depende dela (l. c. § 10).

Negligenciando as quantidades da quarta ordem e acima, podemos estabelecer:^[2]

$K_{0}-K_{1}={\frac {L}{V^{2}}}{\frac {v^{2}}{2}}$.

(8)

Desta equação segue imediatamente que se um corpo libera uma energia $L$ sob forma de radiação, a sua massa diminui de $L/V^{2}$. A respeito disso, é claramente desnecessário que a energia retirada do corpo se transforme em energia de radiação, de modo que somos levados à seguinte conclusão geral:

---

1. Nota do tradutor. Esse é um dos pontos do trabalho de Einstein que foi bastante criticado por vários autores. Definindo a energia cinética de um corpo extenso (assim como de uma partícula) como a diferença entre a energia num estado de movimento e a energia de repouso, essa poderia ser uma função da velocidade diferente daquela do caso de uma partícula. De fato, não é garantido, e tem que ser provado, que a energia cinética de um corpo extenso e a de uma partícula sejam a mesma função da velocidade. Isso é devido ao fato que um corpo extenso pode ser formado de muitas partículas que se movimentam de forma relativística.
2. Nota do tradutor. Esse é o ponto mais criticado do argumento de Einstein, pois a eficácia dessa demonstração de $E=mc^{2}$ é fortemente limitada por essa aproximação de baixas velocidades

Cadernos de Astronomia, vol. 3, n◦2, 144-148 (2022)

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